2.2.4 Обобщенный закон Гука для изотропного тела

Согласно закону Гука в направлении каждого нормального напряжения (рис.2.4) происходит продольная деформация (2.7). Одновременно, в поперечных направлениях происходят противоположные по знаку деформации, т. е. в пределах упругости имеет место «эффект Пуассона» - отношение относительных поперечных удлинений к относительным продольным удлинениям есть величина постоянная для данного материала:

(2.13)

Или (2.14)

где - коэффициент Пуассона - упругая константа материалов (0 < < 0,5). Уравнение (2.13) выражает закон Гука для поперечных деформаций.

Таким образом, в каждом из трех направлений проходит по одной продольной и по две поперечной деформации (табл. 2.1).

Складывая эти деформации, получим суммарные относительные удли- нения в направлении напряжений :

(2.15)

Таблица 2.1. Продольные и поперечные деформации

Удлинение	от	от	от
В направлении
В направлении
В направлении

Связь между угловыми деформациями и касательными напряжениями устанавливается в пределах упругих деформаций законом Гука при сдвиге (2.12):

(2.16)

Равенства (2.15), (2.16) являются выражением закона Гука в наиболее общем для изотропного тела случае - при объемном напряженном состоянии и объемной деформации. Выражение закона Гука при плоском и линейном напряженном или деформированном состояниях можно получить из этих уравнений путем исключения из них напряжений или деформаций равных нулю.

С помощью уравнений (2.15) можно вычислить объем элементарного параллелепипеда после деформации:

(2.17)

или

(2.18)

где - объем до деформации.

Пренебрегая произведениями деформаций, получим относительное изменение объема:

(2.19)

Подставляя в (2.19) вместо деформаций их значения по формулам (2.15), получим выражение относительной объемной деформации:

(2.20)

Выражение (2.20) показывает, что коэффициент Пуассона не может быть больше 0,5. При = 0,5 изменения объема не будет.

2.3. Удельная потенциальная энергия деформации

В общем случае нагружения тела по граням элемента с размерами ребер (рис. 2.4) будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела будет равна сумме работ внешних нормальных сил для выделенного элемента на удлинения ребер параллелепипеда и касательных сил на соответствующих им перемещениях граней элемента (рис. 2.8):

(2.21)

Удельная потенциальная энергия, то есть энергия, накопленная в единице объема элемента, будет равна:

(2.22)

Если выразить компоненты деформаций через компоненты напряжений с помощью уравнений (2.15), (2.16) обобщенного закона Гука, то выражение для запишется в следующем виде:

(2.23)

Рис. 2.8. Работа нормальных и касательных сил

ТЕМА 3