9.4 Определение перемещений с помощью способа Верещагина

В 1924 г. А.Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла Мора в случаях, когда эпюра или ограничена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычисления определенного интеграла от произведения двух функций и , из которых одна, например , линейная, т. е. имеет вид:

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой линией , a изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по некоторому произвольному закону .

Рис. 9.5. Способ Верещагина

Тогда в пределах этого участка:

Второй интеграл представляет собой площадь эпюры на рассматриваемом участке, а первый - статический момент этой площади относительно оси и поэтому равен произведению площади на координату ее центра тяжести . Таким образом,

Здесь - ордината эпюры под центром тяжести площади . Следовательно,

(9.17)

Произведение будет положительным, когда и расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади одной эпюры на ординату второй (обязательно линейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади .

Важно всегда помнить, что такое «перемножение» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордината . Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

(9.18)

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь формулы, по которым могут быть вычислены площади и координаты их центров тяжести. Приведенные в табл. 9.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки.

Однако более сложные эпюры изгибающих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади и координаты которых известны, а затем находить произведение для такой сложной эпюры суммированием произведений площадей ее частей на соответствующие им координаты .

Объясняется это тем, что разложение множимой эпюры на части равносильно представлению функции в интеграле (9.18) в виде суммы интегралов. В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры и линейные, конечный результат их перемножения не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Таблица 9.1. Значения и х_с для некоторых случаев

Нагружения балок

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина надо:

1. построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

2. снять с балки заданную нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в сечение, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу, когда ищется прогиб, или единичную пару, если искомым является угол поворота;

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузи (единичная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади и вычислить ординаты единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей;

5) составить произведение и просуммировать их.