9.2 Расчет на жесткость при изгибе

В практических расчетах нередки случаи, когда в балке, сечение которой выбрано из условия прочности, перемещения оказываются большими - превышающими установленные для них нормы. Поэтому, кроме расчета на прочность, балки должны проверяться также и на жесткость. Обозначив допускаемую стрелу прогиба через , получим условие жесткости балки:

(9.7)

Допускаемые значения стрелы прогиба зависят от назначения конструкции и колеблются в достаточно широких пределах. Так, например, в строительных конструкциях допускаемые значения относительных прогибов колеблются от 1/150 до 1/400. В машиностроении допускаемый относительный прогиб обычно ограничивается 1/1000.

9.3. Определение перемещений с помощью интеграла Мора

Кроме способов определения перемещений сечений балок, основанных на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, существуют более удобные для практических целей энергетические методы. Одним из них является способ определения прогибов и углов поворотов сечений при упругих деформациях балок с помощью интеграла Мора. Этот интеграл может быть получен различными путями, и, в частности, исходя из условия равенства работы внешних сил и потенциальной энергии , накопленной в деформированной балке.

Определим, например, прогиб в точке оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой (рис.9.3). Обозначим через прогиб балки в точке приложения силы , а через - искомый прогиб от этой силы в точке .

Рис. 9.3. К выводу интеграла Мора

При статическом приложении к балке сила произведет работу:

Потенциальная энергия деформации для первого состояния балки, если пренебречь влиянием перерезывающих сил на прогибы, может быть подсчитана по формуле:

(9.8)

Составляя баланс энергий , получаем:

(9.9)

Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении в направлении искомого прогиба вспомогательную силу, равную по величине единице измерения силы, например, 1Н. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты , а точка в процессе деформации балки пройдет путь (рис.9.3). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так:

(9.10)

Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная (рис. 9.3). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой . Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения:

(9.11)

У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения величины своей не изменяет (рис.9.4).

Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов от заданных нагрузок и от единичной силы, а потенциальная энергия деформации:

(9.12)

Рис. 9.4. К выводу интеграла Мора

Баланс энергий в третьем состоянии:

(9.13)

Учитывая выражения для балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем:

(9.14)

Чтобы левая часть равенства представляла собой непосредственно искомый прогиб балки, нужно разделить обе части этого равенства на вспомогательную единичную силу или считать ее безразмерной. В обоих случаях получаем для определения прогибов балки выражение:

(9.15)

где имеет размерность длины.

Задача определения угла поворота сечения приводит к тому же выражению (9.15). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под понимать угол поворота сечения в радианах.

В выражении (9.15) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов и , то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем участкам.

Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора:

(9.16)

где - изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; - изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.

Для определения надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты и надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.