8.7 Потенциальная энергия деформации при изгибе

Потенциальная энергия деформации при поперечном изгибе определяется путем интегрирования общего уравнения для удельной потенциальной энергии:

С учетом уравнений (8.9) и (8.15), имеем:

Интеграл по площади в первом слагаемом есть осевой момент инерции , а во втором слагаемом деление на площадь введено для удобства записи расчетной формулы. Окончательно имеем:

(8.17)

где безразмерный коэффициент :

учитывает неравномерность распределения по сечению. Этот коэффициент зависит только от формы сечения. Например, для прямоугольника

Расчеты показывают, что для обычных балок второе слагаемое уравнения (8.17) во много раз меньше первого. Поэтому энергией сдвига, как правило, пренебрегают и потенциальную энергию при изгибе балок вычисляют по формуле:

(8.18)

где - число участков балки.

ТЕМА 9

9. Перемещения при изгибе

9.1 Перемещения при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии балки и его интегрирование

При изгибе ось балки искривляется, а поперечные сечения перемещаются поступательно и поворачиваются вокруг нейтральных осей, оставаясь при этом нормальными к изогнутой продольной оси (рис.9.1). Деформированная (изогнутая) продольная ось балки называется упругой линией, а поступательные перемещения сечений, равные перемещениям их центров тяжести сечений - прогибами балки.

Рис. 9.1. Деформации балки при изгибе

Между прогибами и углами поворота сечений существует определенная зависимость. Из рис.9.1 видно, что угол поворота сечения равен углу наклона касательной к упругой линии ( и углы с взаимноперпендикулярными сторонами). Но согласно геометрическому смыслу первой производной . Следовательно, .

В пределах упругих деформаций прогибы балок обычно значительно меньше высоты сечения , а углы поворота не превышают 0,1…0,15 рад. В этом случае связь между прогибами и углами поворота упрощается и принимает вид .

Определим теперь форму упругой линии. Влияние перерезывающих сил на прогибы балок, как правило, незначительно. Поэтому с достаточной точностью можно принять, что при поперечном изгибе кривизна упругой линии зависит только от величины изгибающего момента и жесткости :

(9.1)

В то же время в неподвижной системе координат кривизна упругой линии, как и всякой плоской кривой,

(9.2)

Приравнивая правые части (8.1) и (8.2) и учитывая, что правила знаков для и были приняты независимо друг от друга, получаем:

(9.3)

Это равенство называется дифференциальным уравнением упругой линии.

При малых деформациях второе слагаемое в знаменателе мало по сравнению с единицей (при =0,1 рад =0,01) и им можно пренебречь. В результате получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии балки

(9.4)

Выбор знака в правой части (9.4) определяется направлением координатной оси у, так как от этого направления зависит знак второй производной . Если ось направлена вверх, то, как видно из рис.9.2, знаки и совпадают, и в правой части надо оставить знак плюс. Если же ось направлена вниз, то знаки и противоположны, и это заставляет ставить в правой части знак минус.

Рис. 9.2. К выбору знака в правой части уравнения (9.4)

Заметим, что уравнение (9.4) справедливо только в пределах применимости закона Гука и лишь в тех случаях, когда плоскость действия изгибающего момента содержит одну из главных осей инерции сечения.

Интегрируя (9.4), находим сначала углы поворота сечений:

(9.5)

а после второго интегрирования - прогибы балки:

(9.6)

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий. На участках с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов дифференциальные уравнения упругой линии также различны. Интегрирование этих уравнений при участках дает произвольных постоянных. Для их определения к граничным условиям на опорах добавляются условия равенства прогибов и углов поворота на стыке двух смежных участков балки.