Из хрупких материалов

Чтобы определить касательные напряжения, действующие в сечении на уровне от нейтральной линии, в области этого сечения выделим бесконечно малый элемент балки. Для этого проведем два поперечных сечения 1, 2 (рис. 8.10) и одно продольное сечение, параллельное нейтральному слою и отстоящее от него на расстояние . На рисунке (8.12) это сечения и соответственно.

Рис. 8.10. К выводу формулы Журавского

Рис. 8.12. К выводу формулы Журавского

По сечению элемента действуют искомые касательные напряжения , параллельные и нормальные напряжения:

(8.11)

По сечению элемента действуют такие же по величине касательные напряжения , (так как ) и нормальные напряжения:

(8.12)

В сечении действуют касательные напряжения , направленные в сторону меньшего нормального напряжения, а нормальные напряжения здесь отсутствуют или пренебрежимо малы.

Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы проекций всех сил на ось , предполагая, что касательные напряжения , а потому и по ширине сечения не меняются:

После подстановки (8.11), (8.12), получим:

(8.13)

где

(8.14)

- абсолютная величина статического момента той части поперечного сечения, которая лежит ниже или выше уровня искомых напряжений.

Из (8.13), принимая во внимание (8.1), получим расчетную формулу для касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при плоском прямом изгибе параллельно на уровне от нейтрального слоя:

(8.15)

Следует помнить, что касательные напряжения (8.15), параллельные , в общем случае являются только частью полных касательных напряжений (рис. 8.5).

8.6 Расчеты на прочность при поперечном изгибе

При поперечном изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в наиболее удаленных от нейтральной оси точках сечения, а на самой этой оси нормальные напряжения равны нулю, тогда как зона действия наибольших касательных напряжений расположена, наоборот, вблизи нейтральной оси. Кроме того, величина мала по сравнению с , если длина балки существенно больше высоты сечения. Все это позволяет не принимать во внимание касательные напряжения и проводить расчет на прочность только по нормальным напряжениям (для тонкостенных балок это не всегда справедливо).

Условие прочности балки требует, чтобы максимальные нормальные напряжения не превышали допускаемых напряжений для материала балки:

(8.16)

где или .

Если материал одинаково работает на растяжение и сжатие, то опасной будет та точка сечения, где действует наибольшее по абсолютной величине напряжение. Для хрупких материалов, имеющих существенно различные пределы прочности при растяжении и сжатии , требуется проверка прочности по наибольшим растягивающим и сжимающим напряжениям:

Для балок из пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, целесообразно выбирать сечения, симметричные относительно их нейтральных осей; при этом условии обеспечивается одинаковый запас прочности сечения по растянутым и сжатым волокнам.

Если кроме условия прочности исходить еще и из требования минимальной массы балки, то наиболее рациональным будет сечение, которое при заданном моменте сопротивления имеет наименьшую площадь сечения , а при заданной площади - наибольший момент сопротивления. Поэтому двутавровое сечение имеет существенное преимущество перед прямоугольным сечением.

Для материалов хрупких, обладающих различной прочностью при растяжении и сжатии, рациональным будет сечение, несимметричное относительно нейтральной оси, например тавровое, несимметричное двутавровое и т.п.