При чистом изгибе

Это равенство является аналитическим выражением гипотезы плоских сечений. Так как предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга. Согласно закона Гука нормальные напряжения в волокне равны:

(8.7)

Отношение в сечении есть величина постоянная, следовательно, напряжения, так же как и деформации волокон, изменяются по линейному закону (рис. 8.7).

Для определения нормальных напряжений необходимо знать положение нейтрального слоя, то есть . Для этого рассмотрим условия равновесия между нагрузочным моментом, действующим на какое-нибудь симметричное сечение и внутренними силами , распределенными по этому сечению (рис. 8.8.).

Первое условие имеет вид: или согласно (8.7)

Рис. 8.8. К выводу формулы для нормальных напряжений

При чистом изгибе

Так как , следовательно

Данный интеграл есть статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной линии . Он равен нулю, следовательно, нейтральные линии проходят через центры тяжести своих поперечных сечений, то есть являются центральными осями, а упругая линия является геометрической осью балки.

Второе, третье и четвертое условия удовлетворяются тождественно.

Шестое условие: или согласно (7.7):

Здесь есть центробежный момент инерции площади сечения; он равен нулю, следовательно, оси и являются главными осями инерции сечения. Пятое условие: или согласно (8.7):

Здесь осевой момент инерции площади сечения, следовательно,

Таким образом, радиус кривизны нейтрального слоя определяется из следующего уравнения:

(8.8)

Подставляя это выражение в (7.7), получим расчетную формулу для нормальных напряжений при чистом прямом изгибе призматических балок

(8.9)

Максимальные нормальные напряжения определяются из следующего уравнения:

(8.10)

При чистом изгибе по одну сторону от нейтрального слоя происходит простое растяжение, по другую - простое сжатие. Следовательно, при чистом изгибе имеет место линейное напряженное состояние. Эпюры нормальных напряжений (рис. 8.8) показывают, что внутренние слои материала нагружаются меньше, чем наружные. Поэтому, проектируя профили балок, стремятся большую часть площади сечения разместить подальше от нейтральной линии. При изгибе в вертикальной плоскости стандартные двутавровые, швеллерные, тавровые профили (рис. 8.1 в, г, д) дают существенную выгоду в весе.

Если материал балки хрупкий (хуже сопротивляется растяжению, нежели сжатию), то центр тяжести сечения должен располагаться ближе к растянутым волокнам, чтобы величина максимальных растягивающих напряжений была меньше максимальных сжимающих напряжений (рис. 8.9).

8.5. Касательные напряжения при плоском прямом изгибе

Выше было показано (8.4), (8.5), что касательные напряжения при плоском прямом изгибе зависят только от поперечных сил. Однако при выводе формулы для касательных напряжений необходимо считаться с наличием изгибающих моментов, так как если , то в силу (7.1) и . В общем случае:

При этом скорость изменения моментов выше, чем скорость изменения поперечных сил. Поэтому, считаясь с приращением моментов, пренебрегаем изменением поперечных сил при переходе от одного к другому бесконечно близкому сечению. В силу закона парности касательные напряжения возникают не только в поперечных сечениях, но и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Поэтому вместо нахождения касательных напряжений, параллельных и действующих на уровне в поперечном сечении, можно определить равные им касательные напряжения, действующие на этом же уровне в продольном сечении (рис. 8.11, 8.12).

Рис. 8.9. Рациональная форма сечения для балок