8.3 Плоский прямой изгиб

При плоском прямом изгибе действие внешних сил вызывает появление в поперечном сечении одного изгибающего момента и одной поперечной силы. Это возможно в том случае, если в поперечном сечении действуют нормальные и касательные усилия, то есть имеет место сложное сопротивление - изгиб со сдвигом (рис. 7.5).

Рис. 8.5. Напряжения при плоском прямом изгибе

При этом силы не могут уравновесить поперечную силу , а силы не могут уравновесить , поэтому:

(8.4)

(8.5)

Нормальные напряжения имеют определенное направление - нормальное к сечению. В направлении касательных напряжений такой стабильности нет. На периферийных участках касательные напряжения параллельны контуру сечения. Следовательно, направление касательных напряжений от точки к точке меняется в зависимости от формы контура и положения точки у контура. Вероятно, что и в других точках сечения касательные напряжения имеют разное направление. В общем случае плоского прямого изгиба касательные силы образуют острые углы с осью симметрии у и поэтому имеют в каждой точке сечения по две составляющие: параллельные и нормальные к оси симметрии.

8.4 Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе

Как отмечалось выше, нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, поэтому вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу, при котором во всех сечениях и, в силу (8.1), .

Чистый прямой изгиб характеризуется следующим.

1). На выпуклой стороне волокна растягиваются, а на вогнутой -сжимаются. В этом можно убедиться, если с той и другой стороны балки сделать надрезы; на выпуклой стороне они разойдутся, а на вогнутой - сойдутся.

2). Если на боковой стороне балки нанести прямоугольную сетку, то будет видно, что переход от сжатых волокон к растянутым и наоборот происходит непрерывно и что между ними есть нейтральный слой, то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется (рис. 7.6).

Рис. 8.6. Картина деформаций при чистом прямом изгибе

При плоском изгибе нейтральный слой образует цилиндрическую поверхность, образующие которой лежат в поперечных сечениях и называются нейтральными линиями. Нейтральные линии, так же как и нейтральный слой служат границами между растягивающими и сжимающими напряжениями. На самой нейтральной линии напряжений нет.

Проекция нейтрального слоя на плоскость изгиба (плоскость симметрии), в случае упругих деформаций, называется упругой линией балки. Упругая линия балки, будучи частью нейтрального слоя длину не меняет.

3). В силу эффекта Пуассона в растянутой зоне поперечные сечения сужаются, а в сжатой - расширяются.

4). Плоские поперечные сечения, нормальные к упругой линии балки до изгиба, остаются плоскими и нормальными к ней после изгиба (гипотеза плоских сечений Я. Бернулли - 1705 г.).

5). Продольные волокна не оказывают давления друг на друга, а испытывают только осевое растяжение или сжатие. Иначе говоря, .

6). Картина деформаций по ширине сечения не изменяется, то есть нормальные напряжения распределены по ширине сечения равномерно.

Рассмотрим балку длиной до и после чистого прямого изгиба (рис. 8.7). Относительное удлинение волокна (слоя) , удаленного на расстояние от нейтрального слоя:

(8.6)

Рис. 8.7. К выводу формулы для нормальных напряжений