6.6. Статически неопределимые задачи при кручении

При кручении, как и при растяжении, могут встретиться статически неопределимые задачи, для решения которых к уравнениям равновесия статики должны быть добавлены уравнения совместности перемещений.

Нетрудно показать, что метод решения указанных задач при кручении и при растяжении один и тот же. Рассмотрим для примера брус, заделанный обоими концами в абсолютно жесткие стены (рис. 6.8).

Отбросим заделки, заменив их действие неизвестными моментом и . Уравнение совместности деформаций получим из условия равенства нулю угла закручивания в правой заделке:

где .

Крутящие моменты в сечениях бруса связаны следующим уравнением:

Рис. 6.8. Статически неопределимая система при кручении и эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Решая совместно указанные уравнения относительно неизвестных моментов, получим:

Угол закручивания сечения определяется из уравнения:

Эпюры крутящих моментов и углов закручивания представлены на рис. 6.8.

ТЕМА 7

7.1 Расчет на срез

С деформацией сдвига мы встречаемся, когда из шести компонен­тов главного вектора и главного момента внутренних сил отличны от нуля только поперечные силы (Q_У или Q_z). С достаточной степенью приближения деформация сдвига или среза практически может быть получена в случае, когда на рассматриваемый брус с противоположных сторон на весьма

Рис. 7.1 Рис. 7.2

близком расстоянии друг от друга дей­ствуют две равные силы, перпендикуляр­ные к оси бруса и направленные в про­тивоположные стороны. Примером тако­го действия сил на брус может быть раз­резание ножницами прутьев, полосы и т. п. (рис. 7.1). Вообще же на практике сдвиг в чистом виде получить трудно, так как обычно де­формация сдвига сопровождается другими видами деформаций и ча­ще всего изгибом.

Установим формулы для напряжений и деформаций, необходи­мые при расчете на срез элементов конструкций, имеющих форму бруса. Известна внешняя нагрузка Р в частности для случая, представленного на рис.7.1. Используя метод сечений, находим, что на участке бс поперечная сила Q_y = Р. Опуская в дальнейшем индекс при Q , установим связь между поперечной силой и напряжениями, действующими в рассматриваемом сечении. На рис.7.1 видно, что сечение С₁d₁ сместилось сохраняя свою форму и размеры всеми своими точками на одинаковую величину, следовательно, касательные напряжения τ равномерно распределены ­ по площади поперечного сечения (рис.7.2). Откуда τ =

Допущение о равномерности распределения касательных напря­жений по сечению весьма условно. Однако это допущение во мно­гих случаях себя оправдывает и поэтому в инженерной практике им широко пользуются при расчете болтов, заклепочных соедине­ний, шпонок, сварных соединений и других деталей.

7.2 Чистый сдвиг

При расчете ряда элементов конструкций встречается частный случай плоского напряженного состояния, когда на четырех гранях прямоугольного элемента действуют только касательные напряже­ния (рис.3,а). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Найдем величину и направление главных напряжений при та­ком напряженном состоянии. Для этого воспользуемся построением круга напряжений (рис.3, б). Поскольку в данном случае ; ; то, построив круг напряжений, находим, что

а главные площадки наклонены к граням элемента под углом 45°. Третья главная площадка совпадает с ненагруженной фасад­ной гранью элемента, следовательно,

Рассмотрим деформацию элемента аbсd (рис.3,а). Поскольку по граням элемента нет нормальных напряжений, то вдоль граней нет и удлинений.

Рис.7.3 Рис.7.4

В то же время диагональ ас, совпадающая с на­правлением σ1 удлиняется, а диагональ bd, совпадающая с направ­лением сжимающего напряжения σ3, укорачивается. В результате квадрат аbcd, превращается в ромб а'Ь'с'd'. Таким образом, деформация чистого сдвига характеризуется из­менением первоначально прямых углов.

Более наглядное представ­ление о деформации элемента можно получить, закрепив одну из граней (рис.7.4). Малый угол 𝛾, на который изменяется первона­чально прямой угол, называется углом сдвига или относительным сдвигом. Величину абсолютного смещения грани обозначают Δs и назы­вают абсолютным сдвигом. Из треугольника ВАВ1 следует, что Учитывая малость угла, можно считать, что Тогда

7.3 Закон Гука при чистом сдвиге.

Зависимость между нагрузкой и деформацией при сдвиге можно проследить по диаграмме сдвига (рис.5). Для пластичных материалов она анало­гична диаграмме растяжения. На диаграмме показаны характеристи­ки прочности — τпц, τт и τв.

Рис.7.5

Э кспериментально диаграмму сдвига можно получить при скру­чивании тонкостенной трубы (рис.7.6). Действительно, мысленно выделенный элемент стенки трубы (ячейка ортогональной сетки линий, предварительно

Рис.7.6

нанесенной на поверхности трубы) находится в ус­ловиях чистого сдвига, характеризуемого напряженным состоянием, показанным на рис.7. 4. Рассматривая деформацию этого элемента в пределах упругости, видно, что между относительным сдвигом и касательными напряжениями, действующими по граням элемента, согласно диаграмме сдвига (рис.7.5), существует линейная зависи­мость, которая может быть выражена формулой или τ = 𝛾 G

где G — коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода и измеряется в кгс/см² (или н/м²). Значения модуля для неко­торых материалов приведены в приложении . Для изотропных материалов между модулем упругости G при сдвиге и модулем упругости Е при растяжении существует опреде­ленная зависимость. Для получения ее рассмотрим деформацию элемента, претерпевающего чистый сдвиг (рис.7.4). Найдем удлинение диагонали АС, длина которой ℓ =

Рассматривая геометрическую картину деформаций, получим Δℓ = С₁С₂ = СС₁ ≈ СС₁ ͦ = Тогда относительное удлинение диагонали ε = = = = ≈

По закону Гука для чистого сдвига , поэтому ε =

Теперь воспользуемся обобщенным законом Гука. Главное напряжение действует в направлении диагонали АС. Поэтому относительное удлинение е диагонали есть не что иное, как главное удлинение при плоском напряженном состоянии, представленном чистым сдвигом. Учитывая что, находим ε = τ

Сравнивая две последние формулы, получаем искомую зависимость: G =

При 𝜇 = получим G =

Запишем выражение для перемещения одной грани относитель­но другой (абсолютного сдвига ) при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани F, равнодействующую сдвигающую силу Q = F∙τ и расстояние между сдвигаемыми гранями через (рис.4), по­лучим Δs = γ = = Формула выражает закон Гука для абсолютного сдвига.

Потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге U = =

а удельная потенциальная энергия. u = = = =

7.5 Проверка прочности и допускаемые напряжения при чистом сдви­ге. Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию чис­того сдвига (рис.7.3, а). Касательные напряжения на гранях эле­мента равны τ, допускаемое напряжение для материала при растя­жении — [σ].

Как указывалось выше, главные напряжения при чистом сдвиге ;

Условие прочности составим по второй, третьей и четвертой тео­риям:

а) по второй теории - μ ≤ [σ]

Подставляя значения главных напряжений, находим τ ≤

Правая часть формулы представляет собой допускаемое на­пряжение при чистом сдвиге: [τ] = Для металлов 𝜇 = 0,25 ÷ 0,42. Следовательно, по второй теории прочности [τ] = (0,7 ÷ 0,8) [σ]

б) по третьей теории прочности - ≤ [σ] или τ - (-τ) ≤ [σ] откуда τ ≤ = [τ] т. е. допускаемое напряжение при сдвиге [τ]=0,5[σ]

в) по четвертой теории прочности ≤ [σ]

Внеся значения главных напряжений, получим τ ≤ Следовательно [τ]= ≈ 0,6[σ]

Полученные величины допускаемых напряжений применяют так­же при расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза (болтов, заклепок, шпонок и т. д.). Отме­тим, что для пластичных материалов наиболее под­ходит формула [τ]= ≈ 0,6[σ] , полученная на основании четвертой теории проч­ности. На­пример, для стали марки СтЗ допускаемое напря­жение на растяжение и сжатие [σ] = 1600 кгс/см². Тогда [τ]= 0,6∙ 1600 = 960 ≈1000 кгс/см²

Условие прочности на сдвиг (срез) может быть записано в обыч­ном виде: ≤ [τ]

Величина допускаемых напряжений на срез [τ] зависит от свойств материала, характера нагрузки и типа элементов конструкции. Основания для выбора допускаемых напряжений [т] даны выше, а значения величин допускаемых напряжений на срез для некоторых материалов применительно к заклепочным и сварным соединениям приведены в справочной литературе.

Пример 1. Рассмотрим расчет болтового соединения, приведенного на рис.7.

Силы Р стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа передаются распределенные по контактной поверхности силы (рис.7, а и б). Равнодействующие последних, равные Р, на­правлены противоположно (рис.7, а). Усилия стремятся срезать болт по плоскости раздела листов m—n, так как в этом сечении действует наибольшая поперечная сила (Q = Р (рис.7, в). Считая,

Рис.7.7

что касательные напряжения распределены равномерно, получим τ = =

Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид ≤ [τ]

Отсюда можно найти диаметр болта: d =

Следует отметить, что силы Р, приложенные к болту, стремятся также изогнуть его. Однако изгибающий момент мал и вызванными им нормальными напряжениями можно пренебречь, тем более что при увеличении внешних сил разрушение произойдет путем среза.

При расчете болтовых, заклепочных и других подобных соедине­ний следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам со­единений, помимо среза вызывают смятие контактирующих поверхнос­тей. Под смятием понимают пластическую деформацию, возника­ющую на поверхностях контакта.

Расчет на смятие также проводят приближенно, поскольку закон распределения давления по поверхности контакта точно не известен. Обычно принимают криволинейный закон распределения (рис.7.8), считая, что давление q по диаметру d, изменяется пропорционально изменению проекции пло­щадки dF цилиндрической поверхности на диаметраль­ную плоскость:

Тогда максимальное напря­жение смятия на цилиндри­ческих поверхностях =

Рис.7.8

Где F_см = d∙δ представляет собой площадь проекции поверхности контак­та на диаметральную плоскость (рис. 7.7, г):

Условие прочности на смятие имеет следующий вид: = = ≤ [σ_см] На основании зависимости получим d ⋝

Допускаемые напряжения на смятие устанавливают опытным путем и принимают равными [σ_см]=(2÷2,5) [σ_-]

Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на смя­тие, из двух найденных диаметров следует взять больший, округ­лив его до стандартного значения.

Учитывая, что болты и заклепки ослабляют листы, последние проверяют на разрыв в наиболее ослабленных сечениях. В случае одного болта (рис. 7.7) условие прочнос­ти будет иметь вид σ = = ≤ [σ₊]

Пример 2. Определить необходимое число заклепок диаметром d = 23 мм для прикрепле­ния раскоса фермы, состоящего из двух уголков 90 X 56 X 8, к фасонному листу (косынке), имею­щему толщину δ = 1,2см (рис.7.9). Растягивающее усилие в раскосе N = 30 тс, материал — СтЗ, отверстия для заклепок продавлены.

Полагая, что усилия между заклепками распределяются равномерно, и имея в виду, что они испытывают двойной срез (одновременно по двум сечениям), число заклепок k определим из условия прочности на срез: τ = ≤ [τ]

или из условия прочности на смятие: = ≤ [σ_см]

Учитывая при этом, что для стали можно принять [т] = 1000 кгс/см² и [σ_см] = 2800 кгс/см², найдем: а) из расчета на срез k ⋝ = 3,6 б) из расчета на смятие k ⋝ = 3,9

Рис.7. 9

Принимаем, что число заклепок k = 4.

В расчете на смятие фигурировала толщина фасонного листа δ = 1,2 см, так как суммарная толщина полок двух уголков 2δ = 1,6 см, а следовательно, напряже­ние смятия в заклепках в местах контакта с угол­ками будет меньше, чем в месте контакта с косын­кой (предполагается, что материал заклепок мягче чем материал соединяемых элементов).

Пример 3. Вал передает крутящий момент M_кр = 2700 кгс-м при помощи шлицевого соеди­нения (рис. 7.10). Диаметр вала D= 80мм, внут­ренний диаметр d = 68 мм, высота шлица

Рис.7. 10

h = 6 мм, ширина шлица b=12 мм, длина соединения ℓ=1ОО мм. Число шли­цев n = 6. Определить напряжение срезами смятия шлица.

Полагая, что все шлицы нагружены одинаково, найдем усилие, приходящееся на один шлиц: P₁= = = 13235 кгс

Напряжение среза τ = = 1102,5 кг/мс²

Напряжение смятия = = 2205 кг/см²