6.3 Потенциальная энергия деформации при кручении

Потенциальная энергия деформации при кручении определяется подобно тому, как это делалось при растяжении и сдвиге.

Удельная потенциальная энергия деформации при чистом сдвиге определяется из уравнений:

(6.13)

Потенциальная энергия деформации определится из уравнения (6.13) путем интегрирования по объему:

(6.14)

В брусе постоянной жесткости = const) при действии постоянного по длине крутящего момента, имеем:

(6.15)

6.4. Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Принципы расчетов на прочность при одноосном растяжении и сжатии, полностью справедливы и для случая кручения бруса. При кручении расчеты на прочность также делятся на проектировочные и поверочные. В основе расчетов лежит условие прочности:

(6.16)

где - максимальное касательное напряжение в брусе, определяемое по вышеприведенным уравнениям; [ ] - допускаемое касательное напряжение, равное части предельного напряжения для материала детали - предела прочности или предела текучести . Коэффициент запаса прочности устанавливается из тех же соображений, что и при растяжении. Например, для вала полого круглого поперечного сечения, с внешним диаметром D и внутренним диаметром d, имеем:

(6.17)

где - коэффициент полости сечения.

Условие жесткости такого вала при кручении имеет следующий вид:

или (6.18)

где - допускаемый относительный угол закручивания.

6.5 Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

Определим напряжения и деформации при осевом растяжении или сжатии цилиндрической пружины, навитой из прутка круглого сечения диаметра (рис. 6.5, а). Конструктивно пружины растяжения и сжатия отличаются оформлением их концов, но концевые витки при расчетах пружин на прочность и жесткость во внимание не принимаются.

Цилиндрические пружины характеризуются средним диаметром витка , числом витков , углом подъема витков и шагом пружины .

Наибольшее распространение в технике имеют пружины с небольшим углом подъема винтовой линии ( < 5°), называемые пружинами малого шага.

В пружинах малого шага можно пренебречь подъемом витков и считать длину витка примерно равной , а сам виток - расположенным в плоскости, нормальной к оси пружины. Но в таком случае, сечение витка пружины плоскостью, совпадающей с осью пружины, можно рассматривать как ее поперечное сечение. Указанные допущения положены в основу приближенного расчета пружин.

Разделим пружину осевым сечением на две части и отбросим, одну из них. Из условия равновесия оставшейся части (рис. 6.5, б) следует, что внутренние касательные силы упругости в сечении пружины приводятся к перерезывающей силе и крутящему моменту .

Рис. 6.5. К расчету пружины

Касательные напряжения, вызванные кручением, достигают максимума в контурных точках сечения, а напряжения от перерезывающей силы можно в первом приближении считать равномерно распределенными по плоскости сечения. В точке контура сечения суммарные касательные напряжения, как видно из рис. 6.6, достигают наибольшей величины:

или

(6.19)

Для большинства пружин отношение - величина малая по сравнению с единицей. Это говорит о том, что основным видом деформации для пружин является кручение, а срезом можно пренебречь и вычислять приближенные напряжения в пружине по формуле:

(6.20)

Изменение продольных размеров (рис. 6.7) удобно определить энергетическим методом, приравнивая работу статически приложенной силы потенциальной энергии деформации пружины. Работа внешних сил , а потенциальная энергия накапливается, главным образом, за счет кручения прутка и поэтому может быть вычислена по формуле (6.15).

Учитывая, что крутящий и момент инерции по длине прутка не изменяются, а длина прутка , получаем:

Приравнивая и , находим:

(6.21)

Для пружин сжатия формула (6.21) справедлива лишь до полного обжатия пружины, т. е. до соприкосновения ее витков. После полного обжатия пружина начинает работать на осевое сжатие как прямой пустотелый брус.

Рис. 6.6. Эпюры напряжений в сечении витка пружины

Рис. 6.7. Изменение продольных размеров пружины