5.7 Моменты сопротивления площади сечения

Осевым моментом сопротивления площади сечения относительно данной оси называется отношение момента инерции площади относительно этой же оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки сечения:

(5.35)

Размерность момента сопротивления - [ ]. Отношение полярного момента инерции площади сечения к наибольшему радиусу - вектору этой площади, называется полярным моментом сопротивления:

(5.36)

Для прямоугольника:

(5.37)

Для круга:

(5.38)

Тема 6.

6. Кручение

6.1 Внутренние силовые факторы при кручении

Кручением называется такой вид нагружения бруса, при котором из шести составляющих главного вектора и главного момента внутренних сил от нуля отличается только крутящий момент.

При кручении бруса его поперечные сечения поворачиваются друг относительно друга, вращаясь вокруг оси бруса. Вызывается кручение парами сосредоточенных и распределенных вдоль оси бруса сил, действующих в плоскостях, перпендикулярных этой оси. Брус, работающий на кручение, называется валом. Моменты, вызывающие деформацию кручения, называются крутящими моментами. Величина крутящего момента, действующего в каком-либо сечении вала, определяется методом сечений (рис. 6.1). Величина вращающего момента действующего на вал, например через шкив, может быть выражена через соответствующую мощность и угловую скорость по формуле:

(6.1)

где - момент, Нм; - мощность, Вт; - угловая скорость вала, 1/с.

Если задана частота вращения вала в об/мин и мощность в киловаттах (кВт), внешний вращающий момент найдется как:

(6.2)

Рис. 6.1. Эпюра крутящих моментов

6.2. Напряжения и деформации при кручении вала

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала (рис. 6.2), левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол , называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол , называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до - на внешней поверхности.

Рис. 6.2. Деформации вала при кручении

Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений - и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опытов вводятся следующие гипотезы:

1. Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).

2. Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.

3. Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

С учетом указанных гипотез геометрическая картина деформаций вала представлена на рис. 6.2. Рассмотрим, вырезанный из вала клиновидный элемент (см. рис. 6.2) длиной . Из рисунка видно, что:

(6.3)

откуда следует, что угол сдвига изменяется по радиусу вала линейно.

Согласно закону Гука при сдвиге, имеем:

откуда получаем:

(6.4)

т.е., касательные напряжения в сечении вала изменяются по радиусу линейно.

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей - крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия (рис. 6.3).

Рис. 6.3. Касательные напряжения в сечении

Крутящий момент в сечении бруса определяется из уравнения:

или в более краткой записи:

(6.5)

где - плечо элементарной касательной силы . Так как закон распределения касательных напряжений известен (6.4), получаем:

(6.6)

где - есть полярный момент инерции сечения.

С учетом уравнения (6.4) можно определить касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вала, определяемой радиусом :

(6.7)

Максимальное касательное напряжение, действующее на контуре вала:

(7.7)

где - полярный момент сопротивления сечения.

Эпюра распределения касательных напряжений по радиусу показана на рисунке 6.4 для сплошного и полого валов.

Рис. 6.4. Распределение касательных напряжении по сечению вала

Угол закручивания вала с учетом (6.7) определяется по формуле:

(6.9)

Угол закручивания всего вала:

(6.10)

Если вал (брус) имеет несколько участков с различными диаметрами и нагрузками, то:

(6.11)

В частном случае при = const , = const, то есть для бруса постоянного сечения, получим:

(6.12)