5.2 Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

Пусть известны осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно его центральных осей и требуется определить моменты инерции того же сечения относительно осей и , параллельных данным центральным (рис. 5.2). Тогда согласно рис. 5.2 и формулам (5.6) и (5.7) в принятых выше обозначениях имеем:

(5.11)

(5.12)

(5.13)

Учитывая, что относительно центральных осей статические моменты равны нулю, получаем следующую зависимость между моментами инерции при переходе от центральных осей к любым параллельным осям:

(5.14)

(5.15)

(5.16)

Рис. 5.2. Параллельный перенос осей

При переходе от нецентральных осей к также нецентральным в формулах перехода (5.11)…(5.13) должны быть сохранены слагаемые с и . Из формул (5.14)…(5.16) видно, что наименьшее значение имеют осевые моменты инерции относительно центральных осей сечения, так как величины и всегда положительны. Центробежный момент при переходе от центральных осей к нецентральным в зависимости от знака произведения координат и может увеличиваться или уменьшаться.

5.3. Моменты инерции простейших фигур

В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т.п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из простых фигур.

Прямоугольник и параллелограмм (рис. 5.3). Выделим элементарную полоску площадью и подставим это значение под знак интеграла (5.6):

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием и высотой относительно центральной оси, параллельной основанию равен:

(5.17)

Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (5.14):

(5.18)

Моменты инерции прямоугольника относительно осей и вычисляются по формулам (5.17) и (5.18), где заменяется на , a на :

(5.19)

(5.20)

Треугольник с основанием и высотой (рис. 5.4).

Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски:

Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание равен:

(5.21)

Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем:

(5.22)

Круг и полукруг диаметра (рис. 5.5). Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса и элементарное кольцо площадью и вычислим по формуле (5.8):

(5.23)

Рис. 5.5.

Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр и подсчитывают по формуле:

(5.24)

Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения (5.9). В силу симметрии круга , для осевых моментов инерции круга получаем выражение:

(5.25)

Центральные оси и делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей и должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии и оси , проходящей через его основание (рис. 5.6), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,

(5.26)

а момент инерции относительно центральной оси :

(5.27)

Рис. 5.6