4.10 Основные типы задач при расчете на прочность растянутых (сжатых) стержней

Определив напряжение в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле 4.3 и установив допускаемое напряжение в соответствии с соображениями, изложенными выше, можно произвести оценку прочности стержня.

Для этого необходимо фактические напряжения в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемыми:

(4.5)

Здесь имеется в виду допускаемое напряжение или на растяжение, или на сжатие в зависимости от того, с каким случаем мы имеем дело - с растяжением или сжатием.

Неравенство (4.5) называется условием прочности при растяжении (сжатии). Пользуясь этим условием, можно решать следующие задачи:

1. Проверять прочность стержня, т.е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ±5%. Перенапряжение больше этого значения недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала.

2. Определять размеры поперечного сечения стержня (по известным нагрузке и допускаемому напряжению), требуемые по условию его прочности:

(4.6)

3. Определять допускаемую продольную силу по заданным размерам поперечного сечения стержня и известному допускаемому напряжению:

(4.7)

Определив допускаемую продольную силу и установив связь между продольной силой и нагрузкой (методом сечений), можно определить и допускаемую нагрузку.

Следует иметь в виду, что сжатые стержни кроме расчета на прочность в наиболее ослабленном сечении должны также рассчитываться на устойчивость, так как при определенном значении сжимающей силы может произойти выпучивание (продольный изгиб) сжатого стержня.

ТЕМА 5

5. Геометрические характеристики плоских сечений

Деформации и напряжения в брусе существенно зависят от размеров и формы его поперечных сечений. Поэтому во всех расчетных формулах обязательно присутствуют геометрические характеристики этих сечений. При одноосном растяжении и сжатии такой характеристикой является площадь сечения. В теории кручения и изгиба используются более сложные геометрические характеристики, так как в этих случаях напряжения и деформации зависят не только от площади, но и от формы сечения.

5.1 Определения

На рисунке 5.1 изображено произвольное сечение, отнесенное к некоторой системе координат , где: - величина площади сечения; - элементарная часть этой площади; - координаты элементарной площадки; - радиус-вектор; - центр тяжести площади сечения.

Рис. 5.1. К определению геометрических характеристик сечения

Площадь , ограниченная произвольной кривой, определяется по формуле:

(5.1)

Статические моменты площади относительно осей и определяются по формулам:

(5.2)

Размерность статического момента сечения - [ ].

Если известна величина площади и координаты ее центра тяжести, то определяются по формулам:

(5.3)

Отсюда, если известна площадь и статические моменты, то координаты центра тяжести площади определяются по формулам:

(5.4)

Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.

Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

Для сложного сечения, состоящего из простейших фигур, координаты центра тяжести определяются по формулам:

(5.5)

где и - координаты центров тяжести и площади сечений отдельных фигур.

Осевые моменты инерции площади определяются по формулам:

(5.6)

Центробежный момент инерции площади определяется по формуле:

(5.7)

Полярный момент инерции (относительно начала координат) площади определяется по формуле:

(5.8)

Так как :

(5.9)

Размерность моментов инерции - [ ].

Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции. Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей и определяются по формулам:

(5.10)

Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны. Центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты и входят в его выражение в первых степенях.