Задания для самостоятельной работы

7.5. Вычислить интеграл от дроби, содержащий в знаменателе квадратный трехчлен:

;	;
;	;
;	;
;	.

7.6. Вычислить интегралы от рациональных функций:

;	;
;	;
;	;
	.

Ответы

7.5 a) arctg (x+2)+С; б) ; в) ln + ; г) ; д)arctg(2x+1)+С; е) ; ж) ; з) ). 7.6. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж)3ln(x+2)– ; з)

7.3. Интегрирование некоторых тригонометрических и иррациональных функций

Краткие теоретические сведения

В этом параграфе для интегралов от некоторых классов тригонометрических и иррациональных выражений будут даны рационализирующие подстановки, то есть замены переменной, приводящие исходный интеграл к интегралу от рациональной дроби. Здесь через будем обозначать рациональные функции.

Интегрирование тригонометрических функций

I. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной с помощью универсальной тригонометрической подстановки . В этом случае .

Подставляя в подынтегральное выражение вместо их выражения через , , получим интеграл от рациональной дроби:

.

В случае, когда имеет место тождество

для приведения подынтегральной функции к рациональному виду можно применять упрощённую подстановку . При этом .

Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .

Если – нечетная функция относительно , т.е. , то интеграл рационализируется подстановкой .

II. Для отыскания интегралов вида

используют следующие формулы:

При нахождении интегралов вида возможны следующие случаи:

1) хотя бы одно из чисел или – нечетное, например , тогда

2) оба числа или – четные, тогда рекомендуется использовать следующие формулы, позволяющие понизить степень тригонометрических функций: ,

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определённых подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

I. Интеграл вида , где – постоянные, приводятся к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки , где наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей , т.е. .

II. Интегралы вида

тригонометрическими подстановками соответственно сводятся к уже рассмотренным интегралам вида .

К рассмотренным интегралам могут быть преобразованы интегралы , если из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат суммы и сделать линейную замену переменной. Существуют и другие методы интегрирования указанного интеграла, мы их здесь не рассматриваем.

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение: Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Используем замену переменной . Тогда , . Получаем:

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Данная функция нечетна относительно . Используем замену переменной . Тогда и

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Применив формулу (1) и табличные интегралы, получим:

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся формулой . .

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , то положим . Тогда и

Пример 7. Вычислить интеграл .

Решение. Положим . Тогда и исходный интеграл преобразуется в интеграл вида . Интегрируя его, получим:

.