Приклад 1

Визначити номер двометрової консольної балки (рис. 4) з умови міцності, якщо , , .

Рисунок 4

Двотаврова балка знаходиться в умовах складного (просторового) згинання, бо згідно зі схемою навантаження (рис. 4) можна визначити дві силові площини, які перетинають поздовжню вісь двотавру. Одна з цих площин співпадає з головною центральною площиною , інша нахилена до горизонту під кутом .

Розкладемо зусилля по головним осям перерізу, та зведемо складне згинання до двох плоских згинань в площинах (рис. 5а) та (рис. 5б).

У кожній площині збудуємо епюри згинальних моментів. Дією поперечних зусиль будемо нехтувати.

Найбільший за модулем згинальний момент досягається в перерізі О, тому першу спробу добору двотавру зробимо саме для цього перерізу. Проаналізуємо напружений стан перерізу. З розподілу згинальних моментів у перерізі О визначимо знаки нормальних напружень у різних квадрантах перерізу (рис. 6).

Рисунок 6

Зважаючи на правила знаків для згинальних моментів, можна констатувати, що у площині в зону стискання потрапляють нижні волокна перерізу (волокна з від’ємною координатою у). У площині стислими є ліві волокна, або волокна з від’ємною координатою х (рис. 6). При лінійному розподілі нормальних напружень вздовж координат перерізу маємо дві найбільш напружені точки 1 та 2, для яких складемо умову міцності. Оскільки , то

Аналізуючи співвідношення для двотаврів, можна дістати висновку, що середнє значення коефіцієнта , тому

Для перерізу О теоретично необхідний момент опору дорівнює:

.

Для перерізу В теоретично необхідний момент опору дорівнює:

.

В якості моменту опору двотавру, що відповідає умові міцності в обох перерізах необхідно обирати більший з двох можливих:

.

З таблиць сортаменту добираємо найближчий більший двотавр №30а, який має наступні характеристики:

.

Тоді у перерізі В (рис. 7) максимальні напруження в точках 3,4 становлять:

.

Перенавантаження складає:

,

що цілком допустимо.

Розподіл напружень в поперечному перерізі має вигляд:

Рисунок 7

Визначаючи переміщення та кути повороту перерізів при косому та просторовому згинанні, також виходимо з принципу незалежності дії сил. Обчислюємо ці величини в кожній з головних площин та , а результати сумуємо геометрично.

Таким чином, повний прогин і кут повороту визначаються формулами:

(16)

Як приклад, обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою (рис.2а). Ці переміщення можна знайти багатьма способами (метод початкових параметрів, інтеграл Максвелла – Мора, спосіб Верещагіна і т.п.), які дають однакове рішення для прогину [1]:

(17)

Як і раніше розкладемо силу по головним осям. Тоді в площині маємо

,

відповідно у площині

.

Утворимо співвідношення

. (18)

Порівнюючи його з (8), достаємо висновку:

.

Якщо зважити, що кути та відлічуються від взаємно ортогональних напрямків (осей та відповідно), маємо (рис. 8)

Рисунок 8

тобто напрямок повного прогину у випадку косого та просторового згинання завжди ортогональний до нейтральної лінії перерізу. Тому для визначення цього напрямку необхідно попередньо знайти положення нейтральної лінії для будь-якого за формою перерізу.