85. Средние скорости и энергия молекул
С помощью распределения Максвелла можно найти средние значения разных величин. Для средней скорости молекул получается формула
.
(85.1)
Очевидно,
,
(85.2)
поэтому среднеквадратичная скорость с учетом результата (83.5) равна
.
(85.3)
Как средняя, так и среднеквадратичная скорость лишь не намного отличаются от наиболее вероятной:
(85.4)
Все эти скорости порядка скорости звука
в газе. Для кислорода при комнатной
температуре
440 м / c,
для водорода она в четыре раза больше.
В соответствии с соотношением (85.3) средняя энергия поступательного движения молекулы равна
.
(85.5)
Эта энергия не зависит от массы молекулы.
При комнатной температуре
3/2 1,38 10 –16 293 10 –7 / (1,6 10 –19) = 0,04 эВ,
что на два порядка меньше энергии связи
атома в молекуле и недостаточно для
диссоциации газа. На каждую степень
свободы молекулы в среднем приходится
одинаковая энергия
.
(85.6)
Это частное проявление закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Ранее он использовался в рамках термодинамики.
86. Молекулярные пучки
В некоторых задачах необходимо рассчитать поток молекул, вылетающих из сосуда через малое отверстие, их распределение по скоростям в пучке. Такая необходимость возникает, в частности, при экспериментальной проверке распределения Максвелла. Малые размеры отверстия позволяют считать, что молекулярный пучок не нарушает состояния равновесия в сосуде. Тогда плотность потока молекул в пучке вычисляется по той же формуле, что и число молекул, падающих в единицу времени на единицу площади стенки. С учетом распределения по всем трем координатным направлениям в пространстве скоростей эта формула имеет вид
.
(86.1)
Последний результат записан в сферической системе координат.
При интегрировании по углам (в пределах полусферы) получается плотность потока молекул с данной величиной скорости (в интервале v v + dv):
.
(86.2)
Интегральная плотность потока равна
,
(86.3)
где
определяется соотношением (85.1).
Нормированное распределение в пучке
получится, если плотность потока молекул
с данной скоростью, определяемую формулой
(86.1), разделить на интегральную плотность
потока (86.3):
.
(86.4)
Здесь
(86.5)
– распределение молекул в пучке по абсолютной скорости движения, а
(86.6)
– по направлениям движения. Помимо несущественной постоянной, распределение (86.5) отличается от максвелловского дополнительным множителем v. Его происхождение связано с тем, что быстрые молекулы вылетают из большего объема. Поэтому и средняя скорость, и средняя энергия молекул в пучке больше максвелловских средних:
.
(86.7)
Разница средних значений энергии молекулы в пучке и сосуде составляет kT / 2 и связана исключительно с поступательным движением молекул. Вращательная, колебательная энергии, энергия электронного возбуждения и другие виды энергии молекулы (если она ими обладает) могут не измениться при попадании молекулы в пучок. Поэтому, если средняя энергия молекулы в сосуде равна cVT, то в пучке она будет cVT + kT / 2 (cV – теплоемкость газа, рассчитанная на одну молекулу).