81. Гипотеза молекулярного хаоса

Возможность применения статистического подхода связана с громадным числом молекул, из которых состоит рассматриваемая система. Любая характеристика системы – результат действия очень большого числа молекул. С течением времени характеристика флуктуирует около своего среднего значения. Однако эти флуктуации весьма малы, а сколько-нибудь значительные отклонения маловероятны. Измеренные значения характеристик практически не отличаются от средних статистических. Поэтому в дальнейшем под давлением газа, его внутренней энергией и другими параметрами будут подразумеваться средние величины.

Для вычисления параметров газа необходимо знать распределение молекул в пространстве и по скоростям. Оно определяется гипотезой о молекулярном хаосе. Что касается распределения по пространству, то в отсутствие внешних массовых сил (или если они малы и ими можно пренебречь) газ в сосуде равномерно распределяется по всему объему, т. е. число молекул в единице объема постоянно по всему сосуду. Это подтверждается опытом.

На гипотезе о молекулярном хаосе основан вывод распределения молекул по скоростям. Для идеального газа оно было получено Максвеллом в 1859 г. и названо его именем.

Молекулы газа движутся с различными скоростями. По указанной гипотезе все направления движения равноправны. Это предположение соответствует опытным данным. Если бы существовало направление преимущественного движения молекул, то в замкнутом сосуде возник бы стационарный поток газа. Установление молекулярного хаоса обусловлено существованием взаимодействия между молекулами. При столкновении молекул друг с другом изменяются направления их движения и величины скоростей; суммарные импульс и энергия сохраняются. В газе, заключенном в сосуд и предоставленном самому себе, устанавливается стационарное распределение молекул по скоростям.

82. Распределение Максвелла. Вывод

Из предположения о хаотическом характере молекулярного движения следует, что возможно появление молекул с любой скоростью и искомое распределение будет характеризоваться непрерывной функцией. В связи с этим имеет смысл говорить не о числе молекул со строго заданной скоростью, а о числе молекул dn( ), имеющих скорость в некотором элементе объема пространства скоростей:

– (82.1)

и о распределении вероятностей dw( ). Очевидно, эта вероятность нормирована на единицу:

. (82.2)

Поскольку распределение молекул по скоростям непрерывное, то можно ввести плотность вероятности g( ) так, что

dw( ) = g( )d , (82.3)

где d = dv_x dv_y dv_z – элемент объема пространства скоростей в декартовых координатах. Из принципа равноправности направлений движения следует, что плотность вероятности не зависит от угловых переменных, указывающих направление вектора скорости, а должна быть лишь функцией его модуля:

g( )  g(v). (82.4)

Аналогично можно ввести вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости v_ в дифференциально малом интервале v_  v_ + dv_ :

dw(v_) = dn(v_) / n = f(v_)dv_,    = x, y, z, (82.5)

где, в силу хаотичности молекулярного движения, каждая из плотностей вероятностей зависит только от "своей" компоненты скорости и не зависит от других; больше того, вид этих функций распределения один и тот же независимо от выбора аргумента v_x, v_y или v_z. Молекула имеет случайные значения трех компонент скорости. Обладание тем или иным значением одной компоненты скорости никак не зависит от величины других компонент. В соответствии с теоремой умножения вероятностей для независимых событий

dw( ) = dw(v_x)dw(v_y)dw(v_z). (82.6)

Здесь под событием подразумевается обнаружение определенного значения одной из компонент скорости. Для плотностей вероятностей из (82.6) получается соотношение

(82.7)

Логарифмирование и последующее дифференцирование (82.7) по v_ дает равенство

. (82.8)

С учетом соотношения между компонентами и величиной скорости

(82.9)

уравнение (82.8) может быть представлено в виде

(82.10)

где  – константа, так как функции различных аргументов могут совпадать друг с другом во всей области их определения, если только они все равны одной и той же постоянной. Интегрирование уравнения (82.10) дает вид функций g (v) и f (v_):

. (82.11)

Между постоянными интегрирования Z и Z₀, согласно соотношению (82.7), существует простая связь

Z = Z₀³. (82.12)

Постоянная Z₀ может быть найдена, если воспользоваться условием нормировки (82.2):

. (82.13)

Разумеется, величина скорости и любая ее компонента ограничены скоростью света. Однако интегрирование в условии (82.13) можно распространить до бесконечности, если температура газа не слишком высока. При достижимых в земных условиях температурах доля быстрых молекул очень мала и вклад их в интеграл мал. Из условия нормировки (82.13) следует, что

. (82.14)

Это так называемый интеграл Пуассона. Окончательно

(82.15)

. (82.16)

Относительно параметра  можно сказать только, что он положительный. Это уже использовалось для удовлетворения условиям нормировки.

Таким образом, предположение о статистической независимости движения в разных направлениях позволило найти распределение молекул по скоростям. Однако, сколько бы правдоподобной эта гипотеза ни казалась, она нуждается в экспериментальной проверке, в установлении границ ее применимости. Очевидно, что полученное распределение нельзя использовать при релятивистских скоростях. Если одна из компонент скорости равна скорости света, то две другие равны нулю: значение одной компоненты скорости зависит от величины двух других компонент. Идея о статистической независимости движения молекул по разным направлениям справедлива только для обычных нерелятивистских газов.