79. Примеры
1. Материальная точка колеблется по закону x = sin t. Найти вероятность того, что при случайном измерении ее положения она будет обнаружена в интервале x, x + dx.
Материальная точка совершает периодическое движение. Пусть полное время наблюдения за ней содержит чуть больше, чем n периодов. За один период (рис. 33, верхний график) она дважды окажется в интервале x, x + dx.
|
Рис. 33 |
Соответствующее время равно 2dt. Тогда искомая вероятность равна
где T – период колебания, 0 1, 2 < 1.
Из уравнения движения
dx = ω cos(ωt) · dt = 
Откуда
dw(x) = 
В результате плотность вероятности равна
Особенности при x = 1 (рис. 33, нижний график) являются интегрируемыми. Можно проверить, что распределение нормировано:
т. е. площадь под кривой (x) равна единице.
2. Найти среднее значение величины x, ее среднее квадратичное значение, среднюю квадратичную флуктуацию и относительную флуктуацию, если dw = const · exp( – x)dx, 0 x .
Очевидно, распределение имеет смысл только при > 0 (иначе нормировать его не представляется возможным). Из условия нормировки
находится постоянная const = . При этом вычисляется интеграл
.
В результате распределение принимает вид
dw = exp (– x) dx.
Для вычисления средних величин применяется дифференцирование по параметру
Квадратичная и относительная флуктуации находятся по формулам (78.2) и (78.3):
.
3. Идеальный газ содержит N молекул, заключенных в объеме V. Найти, какова вероятность того, что в выделенной мысленно части объема v содержится n молекул.
Вероятность обнаружить в объеме v одну выбранную молекулу равна v / V, две молекулы – (v / V)2 и n выбранных молекул – (v / V)n. Аналогично, вероятность обнаружить выбранную молекулу в остальной части объема равна 1 – v / V, две молекулы – (1 – v / V)2 и (N – n) молекул – (1 – v / V)N – n. В результате вероятность того, что в объеме v находится n выбранных молекул, а остальные (N – n) молекул находятся в другой части объема V, равна (v / V)n(1 – v / V)N – n. Число способов, которыми n произвольных молекул могут быть выбраны из общего числа молекул, равно числу сочетаний из N элементов по n: CNn=N! / (n!(N – n)!). Полная вероятность нахождения в объеме v произвольно выбранных n молекул равна
wN (n) = N! / (n!(N – n)!) (v / V)n(1 – v / V)N – n.
Это биноминальный закон. Из известной формулы (бином Ньютона)
следует, что полученное распределение нормировано на единицу.
Пользуясь биномом Ньютона и дифференцируя по параметру, можно найти среднее число частиц в объеме v. Действительно,
Тогда, если обозначить через a = v / V и b = 1 – v / V, то
Из биноминального закона могут быть
получены формулы Пуассона при n << N
и распределение Гаусса при n >> 1
и
.
80. Модель идеального газа
Особенно значительные успехи в применении статистического подхода были достигнуты при изучении газов. Более того, успех в изучении других сред часто был связан с возможностью сведения их к модели газа. Например, твердое тело успешно моделируют двумя газами – электронным и фононным.
Очень простой, но играющей большую роль в исследованиях, является модель идеального газа. Она хорошо описывает разреженные газы. При низком давлении расстояние между молекулами газа велико по сравнению с их размерами, а силы межмолекулярного взаимодействия быстро убывают с расстоянием. По этой причине мал промежуток времени, в течение которого взаимодействие молекул значительно. При столкновении их можно считать недеформируемыми. Большую часть времени они движутся свободно (прямолинейно и равномерно).
Статистическую систему, частицы которой взаимодействуют друг с другом настолько слабо, что этим можно пренебречь, называют идеальным газом.