83. Давление идеального газа. Определение параметра 

В распределениях (82.15), (82.16) параметр  остался неопределенным. Его можно найти, если, пользуясь распределением (82.15), рассчитать давление газа p и сравнить его с давлением идеального газа

p = RT / V. (83.1)

В процессе движения молекулы газа, заключенные в сосуд, испытывают соударения с его стенками. При этом каждая молекула передает отражающей ее стенке некоторый импульс. Давление газа на стенку сосуда равно суммарному импульсу, передаваемому единице площади стенки в единицу времени множеством ударяющихся о нее молекул. Если считать, что отражение молекул от стенки происходит совершенно упруго, то импульс, передаваемый при одном соударении, равен 2mv_x (ось x направлена перпендикулярно стенке). Пусть dj(v_x) – число молекул, падающих на единицу площади стенки в единицу времени и имеющих x-ю компоненту скорости в интервале v_x  v_x + dv_x. Тогда давление газа равно

(83.2)

Для вычисления dj(v_x) полезно обратиться к рис. 34, на котором схематически изображена область локализации молекул со скоростью (параллелепипед), ударяющихся о стенку за единицу времени.

Очевидно, dj(v_x) равно числу молекул с данной компонетой скорости v_x, находящихся в параллелепипеде высотой v_x и основанием, равным единице площади:

dj(v_x) = v_x dn(v_x) = v_x ndw(v_x), (83.3)

где dn(v_x) – концентрация молекул с данной компонентой скорости v_x (в интервале v_x  v_x + dv_x), n – полная концентрация частиц (здесь концентрация – полное число частиц в единице объема). После подстановки выражения (83.3) в интеграл (83.2) для давления получается выражение

. (83.4)

Рис. 34

Если воспользоваться теперь распределением (82.15), то

(83.5)

p = mn / (2) = mN_А / (2V), (83.6)

где N_А – число Авогадро,  – число молей. Сравнение выражений (83.6) и (83.1) для p дает

 = m / (2kT), (83.7)

где k = R / N_А = 1,38  10^–16 эрг / K – постоянная Больцмана.

84. Распределение по величине скорости

Наряду с распределением по компонентам скорости в декартовых координатах (82.15), часто используется распределение в сферических координатах

, (84.1)

где d – элемент телесного угла, равный

d = sin dd, (84.2)

если угловые координаты  и  выбраны, как показано на рис. 35.

Распределение по величине скорости получается, если вероятность (84.1) проинтегрировать по телесному углу

(84.3)

Рис. 35

Графики плотности вероятности для распределений (82.15) и (84.3) представлены на рис. 36 (T₁ < T₂). Кривая плотности вероятности f (v_x) (см. рис. 36, а) симметрична по отношению к положительным и отрицательным значениям v_x, что является прямым следствием предположения о равноправности направлений молекулярного движения. Кривая (v) (см. рис. 36, б) имеет максимум: наиболее вероятным состоянием молекулы является ее движение с отличной от нуля скоростью. Наиболее вероятная скорость равна

. (84.4)

Рис. 36

При повышении температуры доля быстрых молекул возрастает. Однако в соответствии с условием нормировки (82.13) площадь под кривой остается постоянной и равной единице. В любом случае доля очень быстрых молекул мала: и f (v_x), и (v) стремятся к нулю при стремлении величины аргумента к бесконечности.