77. Средние значения

Понятие статистического среднего является естественным обобщением привычного понятия среднего арифметического. Пусть какая-либо величина принимает дискретный ряд значений. Под средним арифметическим понимают отношение суммы всех этих значений к полному их числу, т. е. выражение вида , где L_i – значения величины L, N_i – число измерений, приводящих к этому значению, N – полное число измерений.

Статистическим средним (математическим ожиданием) величины L называют предел отношения

, или . (77.1)

Суммирование ведется по всем состояниям системы. Для статистического среднего часто употребляется другое обозначение: . В дальнейшем ради краткости вместо "статистическое среднее" будем говорить просто "среднее".

В случае систем, состояния которых изменяются непрерывно,

. (77.2)

Если имеется две величины L и M, являющиеся функциями состояния, то

.

В случае, когда L является функцией состояния, а c – некоторая переменная,

.

78. Флуктуации

Возникает естественный вопрос, в какой мере задание среднего значения характеризует реальное значение величины. Ясно, что если отклонения величины от своего среднего значения достаточно малы, то всегда можно без большой погрешности заменить истинное значение величины ее средним значением. Для точного же количественного ответа необходимо ввести некоторую величину, которая характеризовала бы отклонение истинных значений L от ее среднего . В качестве такого критерия вводится средний квадрат разности

(78.1)

который называется квадратичной флуктуацией (дисперсией распределения w_L).

Квадратичная флуктуация существенно положительная величина. Всякое отклонение от среднего вносит свой вклад в ее значение (отклонения от в обе стороны не погашаются, а складываются). Наименьшее возможное значение – нуль – квадратичная флуктуация принимает только тогда, когда L все время точно равна своему среднему значению. Для малой квадратичной флуктуации необходимо, чтобы большие отклонения L от были маловероятны, т. е. происходили достаточно редко. Если мала, то значение величины L все время близко к своему среднему значению , и может достаточно точно охарактеризовать значение L. Из определения (формула (78.1)) можно получить

. (78.2)

Помимо квадратичной вводится относительная флуктуация

. (78.3)

Последняя дает возможность оценить относительную погрешность, которая возникает при замене L ее средним значением . Если _L << 1, то такая замена не вносит сколько-нибудь заметной ошибки.

В рамках теории вероятности доказывается следующая теорема: если имеется система, состоящая из N независимых частей, то относительная флуктуация любой аддитивной функции состояния L системы обратно пропорциональна квадратному корню из числа N, т. е.

. (78.4)

Задачей теоретической физики является изучение свойств макроскопических систем, состоящих из огромного числа атомов или молекул. Применение статистических законов позволяет находить средние значения разных величин, характеризующих состояние системы. Из приведенной теоремы следует, что относительные флуктуации всех физических величин, значение которых для всей системы равно сумме значений их для всех частиц, обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц. Поскольку число частиц в макроскопических системах выражается огромными числами (в одном моле число частиц N_A = 6  10²³), относительная флуктуация любой аддитивной величины (например, энергии, энтропии) оказывается практически равной нулю (для моля _l ~ 10 ^–12). Это означает, что все аддитивные величины имеют значения, весьма близкие к средним. Поэтому замена истинных величин их средними значениями может быть произведена с очень большой точностью. Таким образом, вероятностные предсказания приобретают практически достоверный характер.