105. Подвижность частиц. Формула Эйнштейна

Пусть на частицы (они могут быть как макроскопическими, так и молекулярных размеров) действует постоянная сила (для броуновских частиц это выталкивающая сила, для ионов – сила со стороны внешнего электрического поля и т. д.). Кроме того, при движении частица испытывает столкновения с окружающими молекулами. В результате частица участвует в хаотическом тепловом движении и одновременно под действием силы приобретает скорость регулярного движения в сторону действия этой силы. Если внешнее силовое поле не очень сильное, то установившаяся скорость частицы пропорциональна приложенной к ней силе

. (105.1)

Коэффициент пропорциональности называют подвижностью частицы.

В поле силы частица обладает потенциальной энергией (ось x направлена в сторону действующей силы). Если состояние стационарное и температура постоянна, то концентрация частиц меняется в пространстве в соответствии с формулой Больцмана:

. (105.2)

Наряду с конвективным потоком частиц

из-за градиента концентрации имеется и диффузионный поток

В состоянии равновесия суммарный поток частиц равен нулю:

.

С учетом распределения Больцмана (105.2) из последнего равенства получается соотношение, связывающее коэффициент диффузии и подвижность частиц:

. (105.3)

Оно было установлено Эйнштейном и носит его имя.

Элементарная кинетическая теория позволила получить информацию о существе явлений переноса, о порядке величины кинетических коэффициентов, об их зависимости от различных параметров газа.

106. Установление равновесия в ультраразреженном газе

Коэффициенты теплопроводности и вязкости не зависят от плотности газа. Уменьшение плотности при понижении давления компенсируется увеличением длины свободного пробега молекул. В результате поток тепла между двумя параллельными стенками, имеющими различные фиксированные температуры, не зависит от давления газа. Точно так же, если одна из параллельных пластин движется вдоль самой себя, сила трения, действующая на каждую из пластин, не зависит от давления газа между ними (так называемое течение Куэтта). Однако ясно, что такое невозможно при отсутствии газа между стенками (пластинами). Применение изложенной выше теории явлений переноса ограничено со стороны низких давлений. Эта теория была развита в предположении о существовании локального термодинамического равновесия, т. е. при выполнении условия , или, если воспользоваться формулой (99.4) и уравнением состояния идеального газа, при условии

. (106.1)

Если давление не удовлетворяет этому условию, более того, имеет место неравенство , то длина свободного пробега, вычисленная по формуле (99.4), оказывается много больше характерного размера и молекулы будут летать, сталкиваясь чаще со стенками сосуда, чем друг с другом. Установление равновесия в таком ультраразреженном газе (физическом вакууме) осуществляется в результате неупругих столкновений его молекул со стенками. Если молекулы газа имеют более высокую температуру, то, прилипая к стенке, они отдают избыточную энергию и испаряются уже с температурой стенки. Более холодные молекулы при неупругом столкновении со стенкой приобретают дополнительную энергию. В газе устанавливается равновесие, соответствующее температуре стенок.