101. Гипотеза локального термодинамического равновесия

В результате столкновений молекул друг с другом весьма быстро устанавливается равновесное распределение их по скоростям поступательного движения. Для этого достаточно, чтобы каждая из молекул испытала одно-два соударения. Это можно рассматривать как экспериментальный факт. Он дает возможность ввести гипотезу локального термодинамического равновесия. Суть этой гипотезы состоит в следующем: предполагается, что все молекулы, попавшие в объем, размеры которого порядка , испытают в нем соударения и в объеме установится локальное равновесие с некоторой температурой, плотностью и т. д. В другом подобном объеме также устанавливается равновесное состояние, но параметры среды, вообще говоря, другие. Среда (газ) в целом не находится в равновесии. В этих рассуждениях предполагается, что длина свободного пробега молекул (размер объема) мала по сравнению с характерным размером задачи. Такие объемы можно считать точками, в которых определены температура и другие параметры среды. От точки к точке эти параметры меняются. В рамках этого приближения возможно непрерывное распределение параметров (кусочно-непрерывное распределение имеет место непременно). Параметры могут изменяться и с течением времени. В среде возникают потоки массы, импульса и энергии.

102. Теплопроводность

Гипотеза локального термодинамического равновесия с успехом применяется при рассмотрении явлений переноса в плотных газах, в частности при рассмотрении теплопроводности. Если между двумя стенками, имеющими различные температуры, находится слой газа, то через газ осуществляется перенос тепла от горячей стенки к холодной (рис. 44, ). При не слишком низкой плотности можно считать, что длина свободного пробега много меньше расстояния h между стенками. Тем самым предполагается, что применима гипотеза локального термодинамического равновесия. Требуется найти поток тепла q через единичную площадку в сечении с координатой x, параллельном стенкам.

Рис. 44

Слева и справа через это сечение проходят потоки частиц j₊ и j_–. Так как пространство замкнуто, то в стационарных условиях эти потоки равны . Вместе с тем частицы, пересекающие сечение слева, имеют более высокую температуру, чем частицы, пересекающие сечение справа, в результате чего через сечение осуществляется перенос тепловой энергии. До перехода через сечение частицы испытывают столкновения в точках, находящихся на различных расстояниях от сечения. Однако в среднем эти столкновения происходят на расстоянии от сечения и свойства с этого расстояния частицы переносят через данное сечение. Таким образом, поток энергии через единицу площади сечения с координатой x равен

. (102.1)

Поскольку , то выражение в скобках можно разложить в ряд по степеням . Если ограничиться линейными членами, то для потока тепла получится выражение

. (102.2)

Далее предполагается, что все молекулы имеют одинаковую скорость, равную средней, и что все они движутся только по трем координатным направлениям (в каждом туда и обратно одинаковое количество), так что

. (102.3)

Поток тепла пропорционален градиенту температуры и направлен против него. Этот результат был получен экспериментально и назван законом Фурье. Благодаря кинетической теории появилась возможность рассчитать коэффициент теплопроводности

, (102.4)

установить его зависимость от различных параметров газа (температуры, плотности и т. д.). Оказалось, в частности, что  не зависит от плотности газа ( ). В первом приближении коэффициент теплопроводности можно считать пропорциональным корню квадратному из температуры.