99. Частота столкновений и длина свободного пробега молекул

_{Если газ не очень плотный, то при расчете частоты столкновений следует учитывать только двухчастичные столкновения (столкновениями одновременно более чем двух молекул можно пренебречь). Задача решается в системе отсчета, связанной с рассматриваемой молекулой. Все остальные молекулы движутся с относительными скоростями и распределены по скоростям с вероятностью (98.4).}

Рис. 42

Вместо рассматриваемой молекулы можно ввести гипотетическую частицу диаметром , где  – диаметры сталкивающихся молекул (рис. 42), заменив все остальные молекулы материальными точками. Таким образом, задача определения частоты столкновений сводится к нахождению числа ударов о сферу диаметром d частиц максвелловского газа:

(99.1)

_{где n – концентрация ударяющихся молекул, – сечение столкновения. Если газ является смесью, то рассматриваемая молекула сталкивается с молекулами различных компонент смеси. Поэтому частота всех столкновений данной молекулы равна}

(99.2)

_{В случае однородного по составу газа формула принимает вид}

(99.3)

где – средняя скорость теплового движения молекул, .

_{В действительности молекулы взаимодействуют не только при непосредственном соприкосновении, но и при пролете на некотором расстоянии друг от друга. Такой характер взаимодействия учитывается посредством введения эффективного сечения столкновения.}

_{Оценка для азота при нормальных условиях дает ν = 0,8 · 1010 с-1 (n = 2,7 · 1019 см –3, = 4,5 · 104 см / с, d = 3,8  ). Большое значение  обеспечивает ту быстроту, с которой устанавливается равновесие.}

_{По средней скорости и частоте столкновений можно найти среднюю длину свободного пробега}

(99.4)

Она зависит от плотности газа и эффективного сечения столкновения. В азоте при нормальных условиях . При понижении давления возрастает.

100. Распределение по длинам пробега

_{Представляет интерес распределение молекул по длинам свободного пробега. Пусть w(x) – вероятность того, что молекула пролетит расстояние x, не испытав столкновения. Соответственно w(x1 + x2) является вероятностью пролететь без столкновения путь x1 + x2. Прохождение этого пути – сложное событие, оно состоит из двух независимых этапов: прохождения отрезка x1 без столкновения и затем отрезка x2 – также без столкновения. Поэтому}

_{w(x1 + x2) = w(x1) w(x2). (100.1)}

_{Решением этого функционального уравнения является экспонента}

_{w(x) = exp( – ax). (100.2)}

_{Так как вероятность пролететь некоторое расстояние без столкновения тем меньше, чем больше это расстояние, то постоянная a в выражении (100.2) положительная.}

_{Свободный пробег является сложным событием. Он состоит из двух независимых событий – пролета без столкновения некоторого отрезка x и столкновения на отрезке x, x + dx. Поэтому вероятность данного значения длины свободного пробега x (в интервале x  x + dx) будет}

(100.3)

_{Средняя длина свободного пробега вычисляется обычным образом:}

(100.4)

_{Таким образом, величина a является величиной, обратной средней длине свободного пробега, так что}

(100.5)

_{Следует отметить, что в этой формуле x отсчитывается от произвольной точки, а не от места последнего соударения. Формула определяет долю частиц, пролетевших без столкновения расстояние x. Эта формула имеет значение для экспериментального определения средней длины свободного пробега молекул в газе.}

Опыт (рис. 43) состоит в следующем. Сфокусированный пучок молекул пропускается сквозь газ сравнительно низкой плотности. На пути пучка ставится охлаждаемая пластинка. Молекулы пучка, пролетевшие через газ без соударения, достигают пластинки, образуя на ней осадок.

Рис. 43

_{По отношению числа частиц, осевших на пластинке в двух различных положениях, находится средняя длина свободного пробега этих молекул в газе:}

(100.6)

_{Наряду с распределением по длинам пробега (100.3), можно написать с учетом соотношения x = vt распределение по временам пробега}

(100.7)

_{где  – среднее время пробега.}