§ 4. Движения плоскости и пространства. Общие свойства движений плоскости и пространства

п.1. Определение и простейшие свойства движений

Движением пространства (плоскости) называется отображение пространства (плоскости) в себя, сохраняющее расстояние между точками.

Иначе говоря, если f - движение, то для любых точек A и B выполняется равенство: |f(A)f(B)|=|AB|. Вместо слова «движение» применяются также слова «перемещение» и «наложение».

Теорема 1. Всякое движение есть взаимно однозначное отображение (инъекция).

Доказательство. Пусть A,B – две точки и f – движение. Тогда |AB|  0. По определению движения |f(A),f(B)|=|AB|  0. Следовательно, точки f(A) и f(B) различны.

Теорема 2. При всяком движении для любых трёх точек A, B, C и их образов A, B, C выполняется равенство:

(1)

Доказательство. Из равенств и следуют равенства

BC² = (AC - AB, AC – AB) = (AC, AC) – 2 (AC,AB) +(AB,AB)

BC²= AC² – 2(AC,AB) +AB². (2) BC ² = AC² – 2(AC,AB) + AB² (3)

Так как движение сохраняет расстояние, тоAB = AB, BC = BC, AC=AC. Поэтому из равенств (2) и (3) следует равенство (1).

Теорема 3. Для любого движения f пространства (плоскости) и любой декартовой системы координат  в пространстве (на плоскости) существует такая декартова система координат , что одноимённые координаты всякой точки M в системе  и её образа M в системе равны.

Доказательство проведём для пространства. Пусть – O начало и - орты системы координат . Концы этих векторов обозначим соответственно A, B, C и f(O)=O, f(A)=A, f(B)=B, f(C)=C. Примем точку O за начало, а векторы OA, OB, OC за орты новой системы координат (векторы OA, OB, OC единичные и попарно перпендикулярные в силу теоремы 2). Координатами точки M = f(M) в системе являются числа (OM,i), (OM,j), (OM,k) . По теореме 2 выполняются равенства:

(OM,i)=(OM,i)=x, (OM,j)=(OM,j)=y, (OM,k)=(OM,k)=z.

Теорема 4. При всяком движении пространства образ плоскости есть плоскость, образ прямой есть прямая, образ луча – луч, образ отрезка – отрезок, образ полуплоскости – полуплоскость; сохраняется величина угла между лучами.

Доказательство. Пусть  - произвольная плоскость. Выберем какую-нибудь декартову систему координат . В этой системе координат плоскость  задаётся некоторым уравнением. В системе координат , введённой в теореме 3, образ плоскости  задаётся тем же уравнением. Следовательно, он является плоскостью. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично.

Теорема 5. Всякое движение пространства (плоскости) обратимо, и обратное отображение является движением. Композиция движений есть движение. Иначе говоря, множество всех движений пространства (плоскости) есть группа преобразований.

Доказательство. Справедливость первого утверждения следует из теоремы 3. Справедливость двух других утверждений – из определения движения.

п.2. Теорема подвижности пространства (плоскости)

Степень произвола в выборе движений и способы задания движений определяются следующей теоремой.

Теорема 6 (теорема подвижности). Для любых двух декартовых систем координат с осями Ox, Oy, Oz, и с осями Ox, Oy, Oz существует единственное движение пространства, отображающее положительные полуоси Ox, Oy, Oz на соответствующие положительные полуоси Ox, Oy, Oz . Для движений плоскости формулировка соответствующей теоремы очевидна.

Доказательство. 1. Существование. Символ M(x,y,z)_ будет означать, что точка M имеет координаты (x,y,z) в системе . Зададим отображение f следующим образом: точке M(x,y,z)_ поставим в соответствие точку M(x,y,z) . Так как расстояние между точками вычисляется во всех декартовых системах координат по одной и той же формуле, то отображение f сохраняет расстояние и является движением.

2. Единственность. Пусть g – движение, удовлетворяющее условиям теоремы. Через A, B, C обозначим концы ортов системы . Их образы A, B ,C лежат на осях системы и в силу теоремы 2 являются концами ортов этой системы. Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z)_ и обозначим g(O)=O, g(M)=M. Вычислим координаты . Получим =(OX,OA)=(OX,OA)=x. Аналогично получим: . Следовательно, g(M)=f(M), т,е. g = f.

Теореме подвижности можно придать другую, часто полезную, форму.

Теорема 6 . Для любых двух пространственных (плоских) флагов существует единственное движение пространства (плоскости), отображающее первый флаг на второй.