Введём новую систему координат (X', y'), полученную переносом осей координат в новое начало o' (-b/2a, c-b2/4a).

По формулам (2) получим: x = x'+^B/_2A, y= y'-( C-B²/_4A). Подставляя этот результат в уравнение (3), получим уравнение y' = Ax'², задающее параболу.

п.2. Замена базиса в пространстве

Пусть две системы координат имеют общее начало O. Зададим векторы нового базиса их разложениями по векторам старого базиса. Так как векторы обоих базисов единичные и попарно ортогональные (базисы ортонормированные), то коэффициенты разложения представляют собой косинусы углов между векторами старого и нового базисов.

Введём следующие обозначения:

(i₁, i) = α₁ , (i₁,j) = β₁, (i₁, k)=γ_γ,

(j₁, i) = α₂ , (j₁,j) = β₂, (j₁, k)=γ₂,

(k₁, i) = α₃ , (k₁,j) = β₃, (k₁, k)=γ₃.

Для сокращения дальнейших формул обозначим:

cos α₁= a₁ , cos β₁= b₁ , cos γ₁= c₁,

cos α₂= a₂ , cosβ₂= b₂ , cos γ₂= c₂,

cos α₃= a₃ , cosβ₃= b₃ , cos γ₃= c₃.

Тогда указанные разложения имеют вид:

(4)

Векторы старого базиса, в свою очередь, выражаются через векторы нового базиса следующим образом:

(5)

Пусть M -произвольная точка с координатами (x, y, z) в старой системе и координатами (x', y', z') в новой. Радиус OM имеет в этих системах координаты соответственно (x, y, z) и (x', y', z').Поэтому выполняется равенство: .

Пользуясь равенствами (5), получим:

=x (a₁ + a₂ +a₃ ) +y(b₁ + b₂ +b₃ ) + z (c₁ + +c₂ +c₃ ) = (a_ix +b₁y +c₁z) + (a₂x +b₂y +c₂z) + (a₃ x +b₃y +c₃ z)

Следовательно, новые координаты выражаются через старые формулами:

(6)

Старые координаты выражаются через новые по формулам:

(7)

Поскольку оба базиса ортонормированные, то матрица

преобразования обладает следующими свойствами:

a₁² + b₁² +c₁² =1, a₂² + b₂² +c₂² =1, a₃² + b₃² +c₃² =1,

a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0,

a₁a₃ + b₁b₃ + c₁c₃ = 0, (8)

a₂a₃+ b₂b₃ + c₂c₃ = 0.

Матрица, обладающая такими свойствами, называется ортогональной. Очевидно, что выполняются также равенства:

a₁² + a₂² +a₃² =1, b₁² + b₂² +b₃² =1, c₁² + c₂² +c₃² =1

a₁b₁ + a₂b₂ + a ₃ b₃ = 0,

a₁c₁ + a₂c₂ + a ₃ c₃ = 0, (9)

c₁b₁ + c₂b₂ + c ₃ b₃ = 0.

Так как объём параллелепипеда, построенного на векторах

, , , равен 1, то

= 1 (10)

Из равенств (4) и (5) видно, что если векторы нового базиса выражаются через векторы старого базиса при помощи матрицы A, то векторы старого базиса выражаются через векторы нового базиса при помощи транспонированной матрицы A^т (она же является обратной к матрице А). Равенство А^-1 = А^т выполняется тогда и только тогда, когда оба базиса ортонормированные. Это относится и к замене базиса на плоскости.

п.3. Замена базиса на плоскости

Рассмотрим замену базиса на плоскости Oxy как частный случай замены базиса в пространстве. При этом вектор не меняется, т.е. . Обозначим угол между векторами через . Для взаимного положения базисов возможны два случая.

1. Базис { } получен поворотом базиса { } (рис. 1) Тогда =₁, ₁ = (/2 - ) (знак + в случае острого угла , знак – в случае тупого угла ), ₂= /2 +, ₂= .

Поэтому cos ₁= cos , cos ₁=sin , cos ₂= - sin , cos ₂= sin .

Формулы (4) принимают вид:

i= i cos + j sin,

j= - i sin + jcos  (11)

2. Базис {i,j} получен поворотом старого и заменой вектора j на противоположный. Тогда зависимость между базисами задаётся формулами:

i= i cos + j sin,

j= i sin - jcos  (12)

Для первого случая формулы преобразования координат имеют вид: x` = x cos +ysin ,

y` = - xsin + ycos, (13)

x = x` cos - y` sin ,

y` = x`sin+ y` cos, (14)

для второго –

x`= x cos +ysin ,

y` = _ix sin - ycos, (15)

x = x` cos + y` sin ,

y = x`sin - y` cos, (16)

п.4. Общий случай преобразования координат

В общем случае для перехода от старой системы координат (x,y,z) с началом O и базисом {i, j, k} к новой (x,y,z) - с началом O и базисом {i,j,k} введём вспомогательную систему координат ( ) с началом O и базисом {i, j, k}. Переход от старой системы к вспомогательной происходит по формулам (1):

= x - a, =y -b, = z'+ c. (17)

Переход от вспомогательной системы координат к новой происходит по формулам (6), в правые части которых нужно подставить вместо x, y, z координаты , выраженные формулами (17):

x=(x-a)cos₁ +(y-b)cos₁ +(z-c)cos₁,

y=(x-a)cos ₂+(y-b)cos ₂+(z-c)cos₂, (18)

z=(x-a)cos₃ +(y-b)cos₃ +(z-c)cos_3.

Аналогично получаем формулы перехода от новых координат к старым:

x=x cos₁ +y cos₂+z cos₃+a,

y= x cos ₁+ y cos ₂+ z cos₃+b, (19)

z= x cos₁ + y cos₂+ z cos₃ +c.

Некоторая несимметричность систем (18) и (19) объясняется тем, что числа a, b, c суть координаты нового начала относительно старой системы.

Общие формулы преобразования координат на плоскости для первого случая имеют вид:

x =(x-a) cos +(y-b) sin ,

y =- (x-a) sin +(y-b) cos; (20)

x = x cos - y sin+a,

y = x sin + y cos+b. (21)

И для второго случая:

x=(x-a) cos +(y-b) sin,

y=-(x-a) sin -(y-b) cos; (22)

x=x cos + y sin + a,

y= x sin - y cos + b. (23)