§ 14. Изображение фигур на плоскости.

При решении задач на плоскости, как правило, не возникают трудности, связанные с изображением изучаемых фигур. Если нет возможности изобразить фигуру в натуральную величину, рисуют подобную ей фигуру. В стереометрии дело обстоит иначе. Ясно, что для произвольной пространственной фигуры не существует подобной ей плоской фигуры. Поэтому пространственные фигуры изображаются на плоскости с теми или иными искажениями. Существуют различные методы изображения пространственных фигур. Мы остановимся только на методе, применяемом в школьном курсе геометрии, - параллельном проектировании. Это приблизительно соответствует нашему восприятию предметов, рассматриваемых с расстояния, намного большего, чем их размеры.

п.1. Изображение плоских фигур

Изображением плоской фигуры F будем называть фигуру, подобную параллельной проекции фигуры F на какую-нибудь плоскость. Направление параллельного проектирования в этом пункте будем выбирать не параллельным плоскости фигуры F, а плоскость проекции не параллельной плоскости изображаемой фигуры. Изображаемую фигуру будем называть оригиналом.

Из теорем 4 и 5 § 13 следует, что фигура F является изображением фигуры F тогда и только тогда, когда эти фигуры аффинно-эквивалентны. Поэтому задача о построении изображения плоской фигуры сводится к построению аффинно-эквивалентной ей фигуры. Однако, поскольку в школьном курсе геометрии аффинные преобразования не изучаются, мы, по возможности, будем избегать пользоваться ими.

Из теоремы 3 § 13 следует, что изображением любого треугольника может служить любой треугольник. Поэтому изображением любого параллелограмма может служить любой параллелограмм.

Докажем, что если задано изображение треугольника АʹВʹСʹ, то определено изображение любой фигуры плоскости АВС. Достаточно доказать, что определено изображение Х любой точки Х этой плоскости. Пусть точка Х лежит на одной из прямых АВ, ВС, АС; для определённости будем считать, что она лежит на луче АВ. Тогда точка X лежит на луче АʹВʹ и A'X':A'B'=AX:AB. Следовательно, изображение точки X определено. Если точка X не лежит ни на одной из указанных прямых, то найдётся такая вершина треугольника АВС, например, А, что прямая АХ пересекает прямую ВС в некоторой точке D. Изображение D определено. Следовательно, определено изображение точки Х, лежащей на прямой AD.

Задача 1. Изобразить правильный шестиугольник.

Решение. Пусть ABCDEF - правильный шестиугольник (рис.26, а). Изучая свойства оригинала, замечаем, что все диагонали его пересекаются в одной точке (O) и делятся ею пополам. Кроме того, каждая сторона этого шестиугольника параллельна какой-нибудь его диагонали.

Используя эти свойства оригинала, выполним следующие построения (рис.26,б). Построим изображение какого-нибудь треугольника, например AOB – произвольный треугольник А'О'В' и на продолжениях отрезков A'O' и B'O' отложим отрезки O'D' = A'O' и O'E' = O'B'. Через точку О' проведём прямую, параллельную прямой A'B', которая является изображением прямой, содержащей диагональ оригинала. На прямой от точки O' отложим отрезки O'C O'F, равные отрезку A'B'. Нетрудно доказать, что A'B'C'D'E'F'– изображение правильного шестиугольника ABCDEF.

Для проверки правильности построения можно воспользоваться тем, что каждая сторона шестиугольника параллельна какой-нибудь его диагонали, а параллельность отрезков при изображении сохраняется.

Изображение окружности. Если направление проектирования параллельно плоскости окружности, то её изображение есть отрезок. Можно доказать, что во всех остальных случаях изображение окружности есть эллипс.

Задача 2. Дано изображение А'В'С' треугольника АВС, стороны которого соответственно равны данным отрезкам: АВ = с, ВС = а, СА = в. Построить изображение О' центра О вписанной в треугольник АВС окружности.

Решение. Рассмотрим оригинал треугольника АВС с центром О вписанной окружности (рис.27, а). Точка О есть точка пересечение биссектрис треугольника. Изображение биссектрисы угла не является в общем случае биссектрисой изображения угла (объясните, почему). Но биссектриса угла треугольника делит соответствующую сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон. Например, биссектриса АМ делит сторону ВС на отрезки ВМ и МС так, что ВМ:МС = АВ:АС = с:в. Изображение М' точки М делит отрезок В'С' в том же отношении. Отрезок A'M' изображает биссектрису АМ треугольника АВС.

Построение A'M' можно выполнить следующим образом:

Изобразим треугольник АВС произвольным треугольником А'В'С'. Для построения отрезка A'M' достаточно разделить отрезок A'В' в том же отношении, в котором точка М делит отрезок ВС (рис. 27, б).

Аналогично строится изображение биссектрисы другого угла, например, ВТ.

Задача 3. Дано изображение квадрата. Изобразить правильный треугольник, построенный на стороне квадрата.

Решение. Изображением квадрата может быть любой параллелограмм. Пусть дан параллелограмм АВСD, являющийся изображением квадрата А'В'С'D', который в дальнейшем будем называть оригиналом. Идея решения проста: надо построить на стороне квадрата А'В'С'D' правильный треугольник А'В'Е', пользуясь только теми свойствами фигур, которые сохраняются при параллельном проектировании.

Точка Е' должна лежать на серединном перпендикуляре отрезка А'В'. Этот перпендикуляр построим, проведя прямую через середины F' и G' отрезков A'B' и C'D'. Следовательно, прямая, проходящая через F и G отрезков AB и CD, изображает серединный перпендикуляр отрезка A'B'. На прямой FG лежит точка Е. Так как при параллельном проектировании сохраняется отношение отрезков, лежащих на одной прямой, то достаточно на прямой FG построить точку Е, удовлетворяющую условию: EF:FG= E'F':F'G'.

Задача 4. Дан эллипс – изображение окружности. Построить изображение квадрата с вершиной в данной точке А, вписанного в эту окружность.

Решение. Строим точку О – изображение центра окружности – и проводим диаметр эллипса АС. Проводим хорду, параллельную этому диаметру. Через её середину и центр эллипса проводим хорду BD, которая является изображением диаметра, перпендикулярного диаметру АС. Четырёхугольник АВСD – изображение квадрата, вписанного в окружность.

п.2. Изображение пространственных фигур

Задача об изображении пространственных фигур существенно сложнее такой же задачи для плоских фигур. Можно сказать, что изображение пространственной фигуры – это фигура, подобная параллельной проекции фигуры на какую-нибудь плоскость с теми или иными дополнительными элементами. Какими именно, зависит от изображаемой фигуры. Например, шестиугольник на рисунке 28 может быть изображением как куба, так и любой другой фигуры, проектирующейся на этот шестиугольник. Поэтому при изображении многогранника рисуют не только проекцию, но и проекции его рёбер, причём невидимые рёбра изображают штриховой линией. Это позволяет различать изображения, например, на рисунке 29.

Методы изображения пространственных фигур определяются, в основном, теоремой Польке-Шварца, из которой следует, что изображением любого тетраэдра может быть любой данный четырёхвершинник.

Так же, как для плоских фигур, можно доказать (сделайте это!), что если задано изображение A'B'C'D' тетраэдра ABCD, то определено изображение любой пространственной фигуры.

Чтобы изображение было наглядным, нужно выбирать направление проектирование не параллельным ни одной из граней многогранника. Например, все три изображения куба на рисунках 28, 29, 30 являются правильными, но только второе из них является наглядным, так как даёт правильное представление об изображаемом объекте.

Построим изображения некоторых пространственных фигур, встречающихся в школьном курсе геометрии.

Призма. Основания n–угольной призмы – равные n-угольники с параллельными сторонами, один из которых получается из второго параллельным переносом. Боковые грани изображаются параллелограммами.

Если призма правильная, то её основания – правильные многоугольники, построение изображений которых основано на свойствах изображения плоских фигур (п.1.). На изображение боковых рёбер правильность призмы не накладывает никаких дополнительных условий. Действительно, пусть А₁ … А_n А₁'_… А_n'– правильная n–угольная призма (рис. 31). Её изображение полностью определяется выбором четырёхвершинника А₁*А₂*А₃* А₁'*, изображающего тетраэдр А₁А₂А ₃А₁'. Поскольку изображения всех боковых рёбер равны и параллельны отрезку А₁* А₁'*, а его положение относительно отрезков А₁ А_n и А₁ А₂ произвольно, то перпендикулярность боковых граней основанию не сказывается на изображении.

Пирамида. Основание n–угольной пирамиды изображается n-угольником, боковые грани – треугольниками. Если пирамида правильная, то её высота изображается отрезком, соединяющим изображения вершины пирамиды и центра вписанной окружности (рис.32).

Прямой круговой цилиндр. Выберем направление проектирования не параллельным ни плоскости основания, ни образующим, иначе проекция цилиндра будет либо прямоугольником, либо кругом, и изображение не будет наглядным. Проекции оснований цилиндра суть эллипсы, проекции образующих – параллельные отрезки с концами на этих эллипсах. Каждая образующая проектируется на плоскость изображения плоскостью, параллельной направлению проектирования. Две из этих плоскостей касаются цилиндра по образующим, остальные параллельны им и лежат между ними. Линии пересечения указанных двух плоскостей с плоскостями оснований касаются оснований цилиндра. Следовательно, проекции образующих, ограничивающих изображение цилиндра, касаются эллипсов, изображающих основания (рис.33).

Прямой круговой конус изображается аналогично. Основание изображается эллипсом, а изображение образующих, ограничивающих изображение конуса, касаются этого эллипса (рис.34, а). При этом заметим, что точки касания проведённых образующих и эллипса не являются диаметрально противоположными в этом эллипсе, а потому сечение эллипса, проходящее через «крайние» образующие, не содержит центр основания (рис.34,б).

Сфера. Прямые, проектирующие сферу, образуют цилиндр. Сечение этого цилиндра любой плоскостью, не параллельной его образующим, является проекцией сферы. В общем случае это эллипс (рис.35). Чаще всего сферу изображают кругом – ортогональным сечением цилиндра, а значит, ортогональной проекцией сферы. На рисунке получим окружность  – границу проекции сферы. Однако такое изображение малонаглядно, поэтому обычно изображают ещё какие-нибудь линии на сфере, как правило, параллели и меридианы сетки географических координат. Если плоскость  перпендикулярна плоскости экватора Е, то экватор изображается диаметром Е' окружности , полюсы N и S – концами N' и S' диаметра, перпендикулярного отрезку Е, меридианы – эллипсами, проходящими через точки N' и S', кроме одного, который изображается отрезком (рис.36) Изображение получается более наглядным, если плоскость  не перпендикулярна плоскости экватора. Тогда экватор изображается эллипсом Е', большая полуось которого равна радиусу a сферы, а малая полуось b определяется углом между плоскостью  и плоскостью экватора. Диаметр NS изображается отрезком N'S', перпендикулярным большой оси эллипса Е' (рис. 37). Вычислим длину отрезка ON' (О – центр эллипса Е) в случае, когда малая полуось b выбрана произвольно. Проведём сечение сферы плоскостью, проходящей через диаметр, изображаемый малой полуосью, и точку N (рис.38). Из этого рисунка легко заключить, что А это означает, в частности, что если экваториальная плоскость сферы не перпендикулярна плоскости её изображения, то изображения полюсов не лежат на окружности круга, изображающего рассматриваемую сферу.

ЗАДАЧИ