41. Первый замечательный предел.

Используется для раскрытия неопределенности вида:

Следствия:

42. Предел показательно-степенной функции, второй замечательный предел.

Используется для раскрытия неопределенности вида:

43. Сравнение бесконечно малых величин, эквивалентные бесконечно малые величины.

Пусть при   функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

2. Если  , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

2. Если  (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

3. Если   , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми.

Эквивалентность записывается так:  .

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

1. Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

2. Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высших порядков, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак  мы применяем как для обозначения эквивалентности бесконечно малых, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений. 

44. Непрерывность функции в точке и на множестве, непрерывность элементарных функций.

Функция f(x) называется непрерывной в точке  , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть:

.

Следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

К ним относятся:

а) степенная функция у=xⁿ;

б) показательная функция у=a^x;

в) логарифмическая функция у=log_a(x);

г) гиперболические функции sh(x), ch(x), th(x);

д) тригонометрические функции sin(x), cos(x), tg(x);

е) обратные тригонометрические функции arc sin(x), arc cos(x), arc tg(x).

45. Действия над непрерывными функциями.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x) : g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х₀) ≠ 0).

Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

46. Формулировка основных законов непрерывной функции на отрезке.

??

47. Односторонние пределы функции.

Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a, то пишут  и называют b пределом функции f(x) в точке a слева.

Таким образом, число b называется пределом функции y=f(x) при x→a слева, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ a), что для всех  выполняется неравенство .

Аналогично, если x→a и принимает значения большие a, то пишут  и называют b пределом функции в точке а справа. Т.е. число b называется пределом функции y=f(x) при x→a справа, если каково бы ни было положительное число ε, найдется такое число δ (большее а), что для всех  выполняется неравенство .

Заметим, что если пределы слева и справа в точке a для функции f(x) не совпадают, то функция не имеет предела (двустороннего) в точке а.