18. Угол между двумя прямыми на плоскости.

19. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение:

20. Нормальное уравнение прямой, привидение общего уравнения прямой к нормальному виду, расстояние от точки до прямой.

- радиус вектор

- единичный вектор, причем

p - длина

-нормальное уравнение прямой в векторной форме

Нормальное уравнение прямой: , где - координаты текущей точки, а - угол наклона нормали.

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно обе части уравнения умножить на число , называемое нормирующим множителем. Знак числа противоположен знаку свободного члена C

Расстояние от точки до прямой

Если прямая задана нормальным уравнением, то расстояние от точки до этой прямой определяется по формуле:

Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до этой прямой определяется формулой:

21. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, вывод их канонических уравнений, исследование формы кривых, эксцентриситет и директрисы.

I) Окружность - множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Нормальное уравнение окружности

II) Эллипс - множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

- Каноническое уравнение эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где - половина расстояния между фокусами ( a - бОльшая полуось)

Если , то получаем окружность

Директрисой эллипса называется прямая, параллельная его малой полуоси и отстоящая от неё на расстояние

III) Гипербола - множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами

- каноническое уравнение гиперболы

Гипербола симметрична относительно обеих осей координат и относительно точки начала координат.

Эксцентриситетом гиперболы являются прямые, параллельные мнимой оси, проходящие на расстоянии от неё.

Гипербола имеет две асимптоты

Эксцентриситет определяет форму гиперболы: чем ближе эксцентриситет к нулю, тем ближе гипербола к окружности.

IV) Парабола

Каноническое уравнение параболы

Парабола не имеет асимптот. Осью симметрии является ох.

Вершина в т.О.

22. Уравнение поверхности, плоскость как поверхность второго порядка, общее уравнение плоскости и его исследование.

Общее уравнение плоскости:

23. Уравнение плоскости в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках: , где

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

24. Нормальное уравнение плоскости, приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду, расстояние от точки до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду, умножением его на нормирующий множитель . Знак множителя берется противоположным знаку числа D

Нахождение расстояния от точки до плоскости:

25. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие || :

Условие ⏊ :

26. Прямая линия в пространстве, различные виды её уравнений.

Векторно-параметрическое уравнение прямой:

Каноническое уравнение прямой:

Уравнения прямой по двум точкам:

27. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямые заданы уравнениями    и   , то они:

1) параллельны (но не совпадают) 

2) совпадают 

3) пересекаются 

4) скрещиваются 

Условие ⏊ прямой и плоскости:

Условие || прямой и плоскости:

28. Поверхности второго порядка: сфера, цилиндрические поверхности, эллипсоид, конус, гиперболоиды, параболоиды.

Сфера - множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром сферы.

- центр сферы

R - радиус

- уравнение сферы

Циллиндрическая поверхность

Пусть на хоу заданв прямая . Через каждую точку проведем прямые, параллельные оz. Эти прямые образуют поверхность, которую называют циллиндрической поверхностью.

Кривая - направляющая

В зависимости от направляющей, выделяют три вида циллиндрических поверхностей:

I) -эллиптический циллиндр

II) - гиперболический циллиндр

III) - пара(барА-барА-парА-берЕ-берЕ)болический циллиндр

Эллипсоид

Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

Конус - поверхность, заданная уравнением:

Гиперболоид

Однополостный гиперболоид определяется уравнением:

Двуполостный гиперболоид определяется уравнением:

Параболоид

Эллиптический параболоид - поверхность, определяемая уравнением: