5 4. Гиперболические функции и их дифференцирование.

Гиперболические синус и косинус определяются как

П роизводные этих функций имеют вид:

Производные других (прямых и обратных) гиперболических функций:

55. Производная показательно-степенной функции.

Степенно-показательная функция – это  функция, у которой и степень и основание зависят от «икс». Классический пример, который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:

Необходимо использовать логарифмическую производную. Навешиваем логарифмы на обе части:

Как правило, в правой части из-под логарифма выносится степень:

В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое будет дифференцироваться по стандартной формуле  .

Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:

Дальнейшие действия несложны:

Окончательно: 

56. Параметрический способ задания функции, дифференцирование функции, заданной параметрически.

Функция, заданная параметрически: ,

Производная функции, заданной параметрически:

57. Дифференциал функции, её геометрический смысл, правила дифференцирования, дифференциал сложной функции и инвариантность его формы, приближённые вычисления с помощью дифференциала.

Дифференциалом функции  (обозначается через   ) называется следующее выражение:

где dx - дифференциал x при условии, что функция имеет производную.

Предположим, что существует следующее равенство функций:

тогда дифференциал от равенства есть

Для решения дифференциальных уравнений используют много разных способов: метод разделения переменных, метод вариации и т.д.

Например, в методе разделения переменных используется определение дифференциала функции т.е.

Геометрический смысл: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной.

Инвариантность: пусть y = f ( u ( x )) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем:

df = f '(x)·u '(x)·dx.

Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим:

df = f '(u)·du.

Что совпадает с соотношением dy = f '(x)·dx.   Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.

Приближенные вычисления: определение дифференциала позволяет получить формулу для приближённого вычисления значений функции в некоторой окрестности S(x₀, δ) точки х₀. Полагая Δ f(x) ≈ df (x), получим формулу:

f (x) ≈ f (x₀) + d f (x).

При х х₀ погрешность вычисления по этой формуле есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ х.

58. Производные и дифференциалы высших порядков, механический смысл второй производной.

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель. Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов): δ (d y) = δ [f ' (x) d x] = [f ' (x) d x] ' δ x = f '' (x) d(x) δx .

Дифференциал δ (d y) от дифференциала dy в точке x, взятый при δx = dx, называется дифференциалом второго порядка функции f (x) в точке x и обозначается d²y, т.е.

d²y = f ''(x)·(dx)².

В свою очередь, дифференциал δ(d²y)  от дифференциала d²y, взятый при δx = dx, называется дифференциалом третьего порядка функции f(x) и обозначается d³y и т.д.

Дифференциал δ(d^n-1y) от дифференциала d^n-1f, взятый при δx = dx, называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f(x) и обозначается dⁿy.

Механический смысл второй производной:

Так как производная от координаты есть скорость, то, в свою очередь, производная от скорости есть ускорение: