17, 18 Прохождение частицы через потенциальный барьер бесконечной длинны

1 обл.

U(x) = 0 ( X>0)

²/x² +(2mE/ ħ²)  = 0

Решение

(x) = A₁e^ik1x + B₁e^-ik1x

k₁² = 2mE/ ħ²

Это решение представляет собой совокупность двух волн, распр. В противоположных направлениях. Первое слагаемое в положит. направлении оси Х(падающая волна), Второе слагаемое в отриц. Направлении (отражённая волна).

Волна де Бройля получается при домножении на временной множитель.

2 обл.

U(x) = U₀ (X>=0)

²/x² +(2mE/ ħ²)[E – U₀]  = 0

Решение

(x) = A₂e^ik2x + B₂e^-ik2x

k₂² = (2m/ ħ²)[E – U₀]

Это решение образовано только волной прошедшей через барьер, т.е. В области 2 отражённой волны не существует. Поэтому B₂e^-ik2x = 0.

1 случай E>U₀

k1 = 2/1; k2 = 2/2 => k1>k2, 1>2

Длинна волны де Бройля после входа в барьер увеличивается

Кончается 17 билет. В 18 билет не входит 1 случай.

2 случай E< U₀

k2 = ((2m/ ħ²)[E – U₀]) =  (-(2m/ ħ²)[E – U₀]) = ik’

k’ =  ((2m/ ħ²)[ U₀ – E])

ф-ция (x) внутри барьера экспоненциально уменьшается.

Внутри барьера  ф-ция отлична от нуля, это означает, что вероятность найти микрочастицу за барьером тоже отлична от 0. Микрочастица проникает в барьер

Классическая частица, обладая энергией E либо отразиться от барьера, либо пройдёт над ним, т.е. она не может проникнуть сквозь барьер.

R – коэф. отражения – отношение интенсивности отражённой волны, к падающей волне де Бройля

D – коэф. прозрачности – отношение числа микрочастиц прошедших через барьер (X >0) к числу частиц падающих на барьер.

R = |k₁ – k₂|²/|k₁ + k₂|²

D = 4k₁k₂/|k₁ + k₂|²

Чтобы барьер был конечным по ширине, сделаем третью область =>

(x) = A₁e^ik1x + B₁e^-ik1x

(x) = A₂e^ik2x + B₂e^-ik2x (B2 уже не будет равно нулю, т.к. отражённая волна может быть)

17 18 билет

(x) = A₃e^ik3x + B₃e^-ik3x (B3 равен нулю, так как после барьера для микрообъекта нет препятствий и отразиться ему не от чего)

k₃ = ((2m/ ħ²)[E – U₀])

В обл. 3 U(x) = 0

k₃ = ((2m/ ħ²)E)

Туннельный эффект – явление в рез-тате микрообъект может пройти через барьер.

Коэффициент прозрачности D потенциального барьера D = |A₃|²/|A₁|²

Для того, чтобы найти отношение |A₃|²/|A₁|², необходимо воспользоваться условиями непрерывности  и ’ на границах барьера x = 0 и x = l

Эти четыре условия дают возможность выразить коэффициенты A2, A3, B1 и B2 через A1.

Совместное решение этих уравнений для прямоугольного потенциального барьера, в предположении, что коэффициент прозрачности мал по сравнению с единицей, даёт

D = D₀exp[(-2/ ħ) (2m(U - E))l]

U – Потенциальная высота

E – Энергия частицы

l – Ширина барьера

D₀ – постоянный множитель, который можно приравнять к единице

Для потенциального барьера произвольной формы имеем:

D = D₀exp[(-2/ ħ)^x1_x2(2m(U - E))dx], где U = U(x)

Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом

Прохождение частицы сквозь область, в которую, согласно законам классической механики, она не может проникнуть, можно пояснить соотношением неопределённостей.

Неопределённость импульса ∆p> h/l. Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия (∆p)²/2m может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной.

Основы теории туннельных переходов заложены работами Л.И. Мандельштама и М.А. Леонтовича.

16 билет

На рис. 297, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от «стенок» ямы, равная |_n(x)|² = _n(x) *_n(x) для n=1, 2 и 3. Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n=2 частица не может находиться в сере­дине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и пра­вой частях. Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная ²h²/(2ml²

12 билет

Чем меньше время существования какого-либо энергетического состояния (или время, отведенное на измерение энергии), тем менее точно определена (более размыта) его энергия. Примером является размытие (или уширение) спектральных линий атомов, связанное с неопределенностью Е энергий возбужденных уровней, существующих конечное время t.

Соотношения неопределенности Гейзенберга дают принципиальный предел точности классического описания движения по траектории. При больших энергиях частицы (малых длинах волны де Бройля) возможно приближенное описание движения микрочастицы на языке классических траекторий