13. Законы распределения случайных величин в управлении качеством.

Случайная величина — одно из основных понятий современной теории вероятностей; числовая измеримая функция, заданная на вероятностном пространстве.

Диаметр изготавливаемой детали на станке - случайная величина, т.к. возможны отклонения из-за возникающих погрешностей ввиду температурных изменений, силы трения, неоднородности материала и т.д.. Таким образом диаметр принадлежит некоторому промежутку (c, d).

Случайные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита - X,Y,Z.

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения, поэтому, случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные).

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Да

 Дискретной случайной величиной (ДСВ) называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно.

Случайная величина называется смешанной, если функция распределения F(x) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы (скачки). На тех участках, где F(x) непрерывна, вероятность каждого отдельного значения случайной величины равна нулю. Вероятность тех значений, где функция распределения совершает скачки, отличны от нуля и равны величине скачка.

Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

Законы распределения случайной величины нужны, например, для полученной статистической выборки.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью (ГС) называют совокупность объектов, из которых произведена выборка.

Объем совокупности – число объектов этой совокупности.

Биноминальный закон распределения (для ДСВ)

Пусть имеется некое событие A. Вероятность появления события A равна p, вероятность непоявления события A равна 1 – p, иногда ее обозначают как q. Пусть n — число испытаний, m — частота появления события A в этих n испытаниях. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

P_m = C_n^m · p^m · (1 – p)^n – m — вероятность того, что в n испытаниях событие A произойдет m раз и не произойдет (n – m) раз; Где — число сочетаний из n по m. Математическое ожидание M биномиального распределения равно: M = n · p. ЗР

Распределение Пуассона — это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)). где a = n · p — параметр Пуассона (математическое ожидание, М) e = 2.718281828… - основание натурального логарифма.

Закон Гаусса (нормальное распределение) (для НСВ – возможные значения образуют некоторый интервал) Нормальное распределение, также называемое гауссовским распределением или распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое задается функцией плотности распределения:

нормальное распределение имеет два параметра: математическое ожидание m_x и среднеквадратичное отклонение σ_x величины x от этого математического ожидания Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.

Нормальное распределение встречается часто, т.к. он предельный.(например, ошибки при измерениях, отклонения) Графическое изображение полигон или гистограмма

Оси: x — случайная величина; (горизонтальная) y(x) — вероятность принятия случайной величиной значения x; (вертикальная)