2.4. Вибір масштабів і розрахунок передаточних коефіцієнтів і початкових умов
АОМ виконує математичні операції не с вихідними величинами, котрі входять у рівняння, що описують реальну фізичну систему, а с електричними (аналоговими) величинами, що заміняють вихідні фізичні. В АОМ такою величиною є напруга постійного струму.
Змінні фізичної системи рівнянь можуть змінюватися в широких межах, а напруги, що представляють ці змінні в АОМ від +Umax до -Umax, тобто від -10 В до + 10 В. Таким чином, виникає необхідність масштабувати змінні.
Масштабом, або масштабним коефіцієнтом змінної х називається відношення значення машинної змінної Ux до значення масштабованої змінної х, тобто
Масштаб завжди має розмірність (приклад: Ux = 10 В; х - кг, те mх = В/кг).
Масштаб змынних повинен бути обраний таким, щоб жодна з напруг машинних рівнянь не виходила за межі ±Umax у процесі рішення задачі на АОМ.
При виборі масштабних коефіцієнтів варто виходити з умови
mx|x|max< 10,
де |х|мах - максимальне значення фізичної змінної.
Величина |х|мах вибирається приблизно.
Масштаб часу:
Важливою властивістю АОМ є можливість дослідження динамічних процесів у прискорених, уповільнених або реальному масштабах часу. Машинний час визначається з наступного співвідношення:
де t - реальний час; tм - машинний час; mt - масштаб часу.
Якщо mt < 1 то процес прискорюється в mt раз.
При mt > 1 процес сповільнюється.
Якщо tм = t - реальний масштаб (коли модель з'єднана с зовнішньою реальною апаратурою).
Машинні рівняння:
Введення масштабних коефіцієнтів призводить до того, що модель повинна вирішувати своє "машинне" рівняння, що відрізняється від початкового коефіцієнтами. Для правильного визначення передаточних коефіцієнтів рекомендується перейти від заданої системи рівнянь до машинної. Розглянемо складання машинного рівняння. Дано рівняння:
Запишемо його в наступній формі
Використовуючи масштабні коефіцієнти, виразимо вихідні змінні через машинні:
;
;
;
.
Підставив в рівняння, отримаємо:
Рівняння визначає функціональний зв'язок машинних змінних УМ й tм, тому воно називається машинним рівнянням.
В АОМ набираються машинні (отримані коефіцієнти). Масштаби можна вводити для всіх змінних й їхніх похідних. Методика залишається незмінної.
Почленне масштабування:
Почленне масштабування припускає розрахунок масштабних співвідношень і коефіцієнтів передачі для кожного вирішального підсилювача. Приклад: потрібно виконати операцію підсумовування:
Робота суматора описується вираженням:
,
де UBИX - напруга на виході підсилювача; Ki – коефіцієнт передачі по i-му входу; UBХi - напруга входу.
З огляду
на, що вирішальний підсилювач повинен
зберігати прийняті масштабні співвідношення
UBИХ
=
mBИХZ
та
,
отримаємо:
або
Тоді
Звідси
де аi - коефіцієнт рівняння при перемінної Xi.
Початкові умови:
Для введення початкових умов в АОМ їхні значення повинні бути перетворені в машинні початкові умови з урахуванням прийнятих масштабів.
Нехай початкові умови рівняння 3-го порядку мають значення у0, у'0, у"0.
Тоді машинні початкові умови мають вигляд:
;
;
У загальному випадку:
