Вимоги, пропоновані до математичних моделей
Основними вимогами, пропонованими до математичних моделей, є вимоги точності (адекватності), універсальності (масовості) і економічності.
Адекватність. Модель вважається адекватної, якщо відбиває задані властивості об'єкта із прийнятною точністю. Точність математичної моделі визначається ступенем збігу передвіщених або розрахованих з її допомогою значень параметрів об'єкта з реальними значеннями. Нехай j – відносна погрішність моделі по j-му вихідному параметрі
j = ( YMj – Yj ) / Yj ,
де YМj – j-й вихідний параметр, розрахований за допомогою моделі; Yj – той же вихідний параметр, що має місце в моделируемом об'єкті. Погрішність моделі Eм по сукупності вихідних параметрів, що враховуються, оцінюється однієї з норм вектора Eм=(1,2,…,j),,наприклад:
Eм=
.
Якщо задатися гранично припустимою погрішністю Eпред., те можна в просторі зовнішніх параметрів виділити область, у якій виконується умова Eм < Eпред. Цю область (ОА) називають областю адекватності моделі. На мал.2 представлена область адекватності у двовимірному просторі.
Рис.2. Приклад області адекватності
Визначення областей адекватності - складна процедура, що вимагає більших обчислювальних витрат, які швидко зростають зі збільшенням розмірності простору зовнішніх параметрів.
Вимога універсальності математичної моделі припускає можливість її застосування для опису об'єктів досить широкого класу й для аналізу всіх або багатьох режимів їхнього функціонування.
Економічність математичної моделі може оцінюватися насамперед витратами машинного часу Tмаш, що для забезпечення незалежності від типу ЕОМ виражають числом елементарних операцій, виконуваних при однократному рішенні рівнянь моделі. Показанням економічності математичної моделі може служити також число внутрішніх параметрів, використовуваних у ній. Чим більше таких параметрів, тим більше витрати машинної пам'яті, тим більше зусиль потрібно для одержання відомостей про числові значення параметрів і їхньому розкиді. Вимога високої точності, великого ступеня універсальності, з одного боку, і високої економічності - з іншої, суперечливі. Ніж детальніше в моделі відбиваються різні закономірності процесів, тим точніше й більш універсальна модель, але тем більше необхідний обсяг обчислень і тем більше число використовуваних параметрів, що приводить до зниження економічності. Спроби зробити модель більше економічної звичайно супроводжуються зниженням точності, а іноді й універсальності. Тому необхідно вдалий компроміс.
Етапи математичного моделювання
I. Розробка математичної моделі об'єкта.
Цей етап є найбільш складним, трудомістким і відповідальним. На підставі теоретичних знань, емпіричних і інтуїтивних підходів складаються математичні рівняння, що враховують найбільш важливі й істотні, з погляду дослідника, властивості об'єкта. При розробці математичної моделі необхідно уникати невиправданого ускладнення моделі, відкидати несуттєві взаємозв'язки між характеристиками об'єкта. Як приклад розглянемо математичну модель АД. Рівняння механічної характеристики по формулі Клосса також є математичною моделлю АД, тому що відбиває одне з істотних властивостей двигуна. Однак якщо необхідно точно знати механічну характеристику в діапазоні ковзань 0 < s < 1 , те ця модель буде незадовільної, тому що не враховує таких властивостей об'єкта, як насичення сталі й витиснення струму при пуску. У той же час якщо діапазон ковзань обмежений критичною точкою й точкою холостого ходу, те така математична модель буде цілком задовільною.
Таким чином, при розробці математичної моделі необхідно чітко, у явному виді, указати, які прийняти допущення при складанні рівнянь і накладаються ограничения, що, на область застосування моделі.