Класифікація моделей

Математичні моделі, що відбивають тільки структурні властивості об'єкта, наприклад його геометричну форму, взаємне розташування елементів у просторі тощо, називають структурним. Структурною моделлю (схемою) у теорії автоматичного керування називають графічне зображення математичної моделі автоматичної системи керування у вигляді з'єднань ланок (мал.1).

Рис.1. Структурна схема автоматичної системи керування:

W1...W4 - передаточні функції ланок

Математичні моделі, що відбивають закономірності процесів функціонування об'єктів, називаються функціональними. До їхнього числа можна віднести систему рівнянь, що описують електричні, теплові або механічні процеси. Функціональні моделі, як правило, більш складні, тому що в них відбиваються також відомості про структуру об'єктів.

Блочно-ієрархічне представлення об'єктів проектування на кожному рівні використовує свої математичні моделі. Найбільш великими, що мають місце при проектуванні технічних виробів ієрархічними рівнями, є три, котрим відповідають функціональні моделі мікро-, макро- і метарівня.

На мікрорівні використовують математичні моделі, що описують фізичний стан і процеси в суцільних середах. Як математичний апарат звичайно виступають диференціальні рівняння в частинних похідних. Ці рівняння описують, наприклад поля електричного потенціалу. До типових фазових змінних на мікрорівні ставляться електричні потенціали, щільності струмів, механічні напруги й деформації, температури, тиски й т.п. Незалежними змінними є час і просторові координати, причому простір і час розглядаються як безперервні, а вихідними параметрами (змінними) - опір резистора, характеристики механічних елементів і так далі.

На макрорівні провадиться дискретизація просторів з виділенням як елементи окремих деталей. При цьому із числа незалежних змінних виключають просторові координати, зберігши в якості незалежної змінної час. Функціональні моделі на макрорівні являють собою системи алгебраїчних або звичайних диференціальних рівнянь. У якості фазових змінних у них фігурують електричні напруги, струми, сили, швидкості, витрати, температури й т.п. Вихідними параметрами можуть бути, наприклад коефіцієнт підсилення підсилювача, передаточне число редуктора й т.д. Математичні моделі об'єктів на макрорівні складаються з компонентних рівнянь елементів і топологічних рівнянь зв'язку елементів. Рівняння, що входять у математичну модель елементів, називають компонентними. Для них характерно те, що вони зв'язують різнотипні фазові змінні, стосовні до одного елемента. Основними фазовими змінними електричних систем є струми й напруги в елементах (резисторах, конденсаторах, котушках індуктивності, трансформаторах і ін.).

Компонентні рівняння простих елементів мають вигляд:

, , ,

де i -струм, U - напруга, R - опір резистора, C - ємність конденсатора, L - індуктивність котушки.

З математичних моделей елементів формуються математичні моделі систем, у які, поряд з компонентними рівняннями, обов'язково входять рівняння, що відображають спосіб зв'язку елементів між собою в складі системи, називаний топологічними. Їхньою особливістю є те, що кожне з них зв'язує однотипні фазові змінні, стосовні до різних елементів системи.

Прикладом можуть служити рівняння законів Кирхгофа. Нижче наведений приклад компонентних і топологічних рівнянь для другого закону.

З ростом числа елементів росте порядок системи рівнянь, відповідно ростуть витрати машинного часу на її рішення. Можливості моделей макрорівня виявляються вичерпаними й виникає необхідність переходу до моделі третього рівня.

Компонентні рівняння:

1. U_r=Ri

2. U_L=Ldi/dt;

3. U_c=1/c

Топологічні рівняння:

1. U_i=0

2.Ur-Uc-UL=0

На метарівні для моделювання аналогової системи широко застосовують апарат аналізу системи автоматичного керування, а для моделювання цифрової системи  математичну логіку, теорію масового обслуговування. На метаівні за допомогою подальшого абстрагування від характеру фізичних процесів вдається одержати прийнятний по складності опис інформаційних процесів, що протікають в об'єктах. Тому моделі цього рівня називають ще інформаційними.

На інформаційному рівні як об'єкти розглядаються, наприклад, системи керування, електричні системи. Дискретність подання простору й часу обумовлюється дискретністю фазових змінних, котрими є величини, що характеризують стан елементів. Роль елементів і внутрішніх параметрів виконують системи й вихідні параметри попереднього ієрархічного рівня. Іншими словами, можна сказати, що математичні моделі цього рівня містять у собі як елементи моделі об'єктів макрорівня, зовнішні параметри яких стають внутрішніми. На інформаційному рівні функціонування системи представляє послідовність подій, що відбуваються в дискретні моменти часу, кожне з яких полягає в зміні стану якого-небудь елемента системи: "зайняте" і "вільно", тобто фазові змінні на цьому рівні розглядаються двійковими.

Математичні моделі на метарівні - це системи звичайних диференціальних рівнянь, системи логічних рівнянь, імітаційні моделі систем масового обслуговування.