Глава 7. Математичне моделювання синхронних машин
7.1 Лінеаризована модель сд
Лінеарізованну модель СД отримаємо на підставі відомого рівняння кутової характеристики трифазного явнополюсного двигуна:
;
;
Це рівняння свідчить про те, що момент СД складається з двох складових:
- синхронний
- реактивний (асинхронний).
Аналізуючи рівняння, видно, що:
1. реактивний момент збільшує крутизну робочої ділянки кутової характеристики і трохи підвищує перевантажувальну здатність двигуна;
2. реактивний момент залежить від квадрата напруги;
3. синхронний момент лінійно залежить від напруги.
Це означає, що робочу ділянку кутової характеристики можна замінити лінійною залежністю, що проходить через точку номінального режиму:
,
Диференціюючи отримаємо наближене рівняння динамічної механічної характеристики
На підставі властивостей СД можна скласти механічну модель, що відображає особливості двигуна
.
Тут електромагнітний зв'язок замінений механічною пружиною з жорсткістю b, приведенийний момент інерції масою m. Наявність демпферної обмотки і створюваний нею асинхронний момент при гойданнях (малих коливаннях швидкості ); - динамічна жорсткість.
З урахуванням останнього рівняння для кутової механічної характеристики можна записати:
де
;
Структурна схема моделі:
Ця схема отримана у відповідності з наступними викладеннями:
Так як
,
То
,
Розглянемо докладніше роботу СД в режимі малих відхилень швидкості. Це може мати місце при входженні в синхронізм, ударному додатку навантаження і .т.п.
У сталому режимі всі моменти, що розвиваються, повинні врівноважувати момент опору.
Рівняння руху ротора
Синхронний момент, спрощено
Перепишемо для
режиму малих відхилень
від середнього сталого значення
При малих
має місце
і
.
Тоді отримаємо
Асинхронний момент, представлений лінійною залежністю
З урахуванням
То
З урахуванням всіх виразів отримаємо
Цим рівнянням описується рух ротора СД в режимі мяскраво-червоних коливань. Рішення рівняння навколо крапки статичної рівноваги з втягуванням
в синхронізм
де
,
-
коефіцієнт загасання (речовинний корінь
характеристичного рівняння) ;
- частота коливань
-
частота свободных колебаний;
-
електромеханічна постійна часу.
7.2 Моделювання см у фазній системі координат
СМ є найскладнішою електричною машиною в плані моделювання, із-за наявності на роторі однофазної обмотки збудження, і, в окремих випадках, пускової (демпферною) обмотки.
Існують різні моделі і схеми заміщення, проте при дослідженнях відволікаються від другорядних явищ і приймають ряд допущень:
1. магнітне поле в зазорі розглядається як плоськопараллельноє;
2. якір приймається гладким; не враховується спотворення поля; крива поля вважається синусоїдальною; магнітна вісь обмотки збудження співпадає з подовжньою віссю машини;
3. магнітні осі фазних обмоток зрушені на 120°; нехтують полями вищих гармонійних і моментами від цих полів;
4. розподіл струмів в демпферній обмотці синусоїдальний;
5. не враховується вплив вихрових струмів і гістерезису;
6. не враховується вплив насичення.
7. фазні обмотки мають рівні параметри.
Не дивлячись на ідеальність, насправді, із-за спеціальної форми полюсного наконечника і так як СМ працює, як правило, на вигині характеристики холостого ходу, відхилення від синусоїдальності не перевищує 5%.
При складанні СДУ всі параметри зазвичай приводить до системи відносних одиниць (о.е.), яка аналогічна системі о.е. АД, необхідно тільки додати:
- відносне значення опору обмотки збудження
- інерційна постійна
Рівняння якірного ланцюга машини
Рівняння ланцюга збудження
Демпферна обмотка представляється у вигляді окремих контурів, розташованих по двох осях симетрії машини.
Для подовжньої
осі машини
:
;
;
……………………………...............
;
Для поперечної осі:
;
;
……………………………………..
,
де
-
відповідно потокосцепленіє і струм
n–го демпферного контура в подовжній
і поперечній осі;
активний опір n-го контура струму цього
контура в подовжній і поперечній осі;
-
активний опір i-го контура струму n–го
контура.
Рівняння для потокосчеплень:
;
;
;
.
-
взаємні індуктивності обмоток Х і Y,L –
власна індуктивність; індекси
і
відносяться до демпферних контурів,
- до обмотки збудження.
Розглянемо визначення індуктівностей обмоток статора.
Індуктивності
обмоток є періодичними функціями кута
між магнітною віссю фази і подовжньою
віссю
з періодом рівним
.
При прийнятій ідеалізації достатньо не більше два доданків
Підставивши значення кутів з малюнка, отримаємо
-
середньо значення індуктивності фазної
обмотки
-
амплітуда зміни індуктивності.
У неявнополюсних машинах:
;
;
Розглянемо визначення взаємних індуктівностей.
Взаємні індуктивності є парною періодичною функцією кута між віссю "d" і лінією, проведеною між магнітними осями даних фаз.
Наприклад, взаємна
індуктивність
буде парною функцією кута
-
постійна складова взаємної індуктивності,
-
амплітуда зміни взаємній індуктивності,
причому
Враховуючи кути
Отримаємо:
У неявнополюсних
Взаємні індуктивності між фазами і обмоткою збудження
-
взаємна індуктивність обмоток при
совпаденії їх магнітних осей.
Аналогічно запишемо взаємні індуктивності між фазними обмотками і демпферними контурами для подовжнього контура
Для поперечного контура
і
-
взаємні індуктивності фазної обмотки
і відповідно подовжнього і поперечного
демпферного контура при збігу магнітних
осей роторного контура і обмотки статора.
У практичних розрахунках приймають:
Індуктивність обмотки збудження:
Параметри демпферних контурів:
;
;
Таким чином, цілий ряд індуктівностей, визначальних потокосчеплення, є періодичною функцією кута . При обертанні ротора за час dt кут
змінюється на
Где
значення
при t=0.
При
Таким чином, з вищевикладеного можна сформулювати наступні недоліки СДУ у фазних координатах:
1. рівняння електричної рівноваги містять змінні, що є функціями кутового положення ротора;
2. СДУ не представіма в канонічному вигляді;
3. рішення СДУ можливо тільки чисельно з промежуточним рішенням системи рівнянь(аналогічно АД) алгебри.
Ці недоліки досить, щоб зробити завдання моделювання синхронної машини дуже важкої.
В зв'язку з цим
застосовують запис СДУ в ортогональній
системі координат
.