2.3.4 Аппроксимация гипергеометрического распределения.

Сравнивая разброс рассмотренных выше дискретных распределений бинарных случайных величин, легко установить:

. (2.22)

Следовательно, упрощение модели выборочного контроля партии, т.е. переход от гипергеометрической модели к модели распределения Бернулли или Пуассона, неизбежно приводит к росту разброса, т.е. росту дисперсии. Иначе говоря, упрощение модели сопровождается снижением точности результатов моделирования. Наиболее точное гипергеометрическое распределение из-за необходимости учета четырех параметров является наиболее сложным для расчёта и табулирования, т.е. представления в табличном виде. Более простое для табулирования распределение Бернулли достаточно часто встречается в виде таблиц в различных справочниках. Распределение Пуассона в табличном виде представлено практически в каждом справочнике. В настоящее время с развитием программируемых вычислительных средств вопрос о табулировании перестает быть актуальным.

В некоторых книгах по теории вероятности и математической статистики приводятся различные иногда не совсем корректные условия аппроксимации гипергеометрического распределения распределением Бернулли и Пуассона. Ниже приводятся наиболее корректные условия перехода от гипергеометрического распределения к более простым, без существенных потерь в точности:

1) hy(k N; D; n) ≈ be(k p; n) (2.23)

при 0,1<P<0,9: n>10 и n/N<0,1;

(В литературных источниках часто приводится только одно условие: n/N<0,1, однако, основываясь только на этом условии, не принимая другие два условия можно допустить ошибку более 10 %);

2) hy(k N; D; n) ≈ P₀(k λ=np) (2.24)

при P < 0,1 или P > 0,9; n > 30; n/N < 0,1.

3) при n > 30, для P < D/N < 0,9 гипергеометрическое распределение можно аппроксимировать нормальным законом распределения с параметрами (np; nPQ(N‑n)/(N-1)) и с коррекцией на непрерывность:

hy(k N; D; n) ≈ (2.25)

Hy(k N; D; n) ≈ (2.26)

где, по прежнему, Р = D/N;

f(..) – функция плотности нормального распределения.

2.3.5 Нормальный закон распределения

Практически все системы контроля качества статистическими методами построены в предположении подчинения количественных показателей качества нормальному закону распределения. Нормальный закон распределения, его свойства и условия существования рассматривается практически во всех учебниках и книгах по теории вероятности и математической статистике.

Как уже было отмечено выше (см. п. 2.1), равномерно малый вклад каждого внешнего воздействия и каждой операции в общую дисперсию процесса является необходимым и достаточным условием (согласно Центральной предельной теореме) соответствия нормальному закону распределения показателя качества на выходе процесса. Но верно и обратное утверждение, т.е., если какой-либо признак качества не соответствует нормальному закону распределения, то это означает невыполнение условий Центральной предельной теоремы. Таким образом, сам факт отклонения распределения показателя от нормального закона «подсказывает», что имеется один или два (максимум три) фактора, которые являются определяющими по вкладу в общую дисперсию процесса. Эти факторы необходимо найти и устранить, по крайней мере, максимально снизить их влияние, с тем, чтобы рассматриваемый показатель качества был распределён по нормальному закону и можно было воспользоваться известной системой статистического контроля качества.

Обратить внимание на 4 момента:

1. вероятность попасть в выборку любого негодного изделия равна D/N и не зависит от модели контроля, т.е. от того берётся выборка с возвращением или без возвращения;

2. упрощение модели контроля из-за использования для расчётов вместо гипергеометрического более «простых» распределений приводит к увеличению дисперсии в результатах контроля (см. (2.22) и, в конечном итоге – к увеличению вероятности принятия неверных решений;

3. соотношения n/N < 0,1 не достаточно для сохранения точности анализа при переходе от более сложных распределений к более простым (подробнее см. в тексте);

4. нормальность распределения количественного признака на выходе производственного процесса может служить одним из признаков стабильности процесса или управляемости этого процесса (по терминологии SPC / /).