2.3.2 Биномиальное распределение

Гипергеометрическое распределение описывает случай изъятия выборки без возвращения. При этом вероятность вынуть в первой попытке белый шар равна D/N, вероятность второго белого шара будет равна (D-1)/(N-1), если первый шар был белый, и равна D/(N-1), если первый шар был черный.

Таким образом, вероятность того, что второй шар будет белым по формуле полной вероятности равна:

Аналогично можно показать, что на любом шаге вероятность вытащить белый шар равна D/N, несмотря на то, что эта вероятность, вообще говоря, зависит от того, какие шары вытаскивались на предыдущих шагах.

В случае если после каждого шага изъятия случайным образом шара, он будет возвращаться обратно в ящик, очевидно, что вероятность вытащить на i – м шаге белый шар всегда будет равна D/N независимо от того, какого цвета шары извлекались на предыдущих шагах.

Предположим, что делается выборка из n шаров как в случае рассмотрения гипергеометрического распределения, но каждый раз после выемки и определения цвета вынутого шара этот шар возвращается в ящик. Найдем вероятность того, что из n вынутых и возвращенных шаров число белых будет равно d. Т.е. найдем распределение белых шаров в выборке с возвращением. Поскольку в этом случае на каждом i – м шаге вероятность появления белого или черного шара независима, то вероятность вынуть белый шар k раз будет равна:

Р(k=d) = P^d (1-P)^n-d = P^d Q^n-d.

Всего таких событий может быть равно числу сочетаний из n по k. Поэтому искомая вероятность равна:

P(k=d) = be(k=d N; D; n) = (2.14)

Распределение (2.14) называется распределением Бернулли и, вообще говоря, связывает только три параметра: d; n и P = D/N (значения D и N входят в это распределение в отличие от гипергеометрического распределения в виде отношения, т.е. одного параметра Р). Соответственно, функция распределения Бернулли будет равна:

Ве(d < k P; n) = (2.15)

Естественно, эта вероятность эквивалентна вероятности того, что в ящике доля белых шаров равна Р, если в выборке с возвращением объема n встретилось d белых шаров. Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения будут равны:

M[k=d] = n P (2.16)

σ_В² = n·P·Q (2.17)

Следовательно, при использовании схемы испытаний с возвращением получается более простое выражение для оценки доли белых шаров в ящике, чем в модели без возвращения, которая описывается гипергеометрическим законом распределения, но следует учитывать, что в случае распределения Бернулли точность модели будет меньше, чем для гипергеометрического распределения, поскольку σ_H² меньше, чем σ_В², в (N-n)/(N-1) раз.

2.3.3 Распределение Пуассона

Рассмотрим поток событий, т.е. последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Любой производственный процесс можно, в принципе, рассматривать как поток. Например, по конвейеру «течёт» поток изделий, в котором в случайные моменты времени попадаются несоответствующие изделия. В производстве тканей удобно под потоком рассматривать множество натянутых параллельных нитей. При этом случайным событием является обрыв одной из нитей. Тогда независимой переменной потока является геометрическая переменная, связанная с номером нити.

Поток событий называется простым или Пуассоновским, если он подчиняется трем условиям одновременно:

1. условию стационарности: вероятность наступления события в малом отрезке времени Δt пропорциональна величине этого интервала с точностью до бесконечно малой более высокого порядка:

P(d=1) ≈ c·Δt + O(Δt),

где O(Δt) – бесконечно малая величина порядка (Δt)²;

с – некоторая константа.

2. условию ординарности: вероятность наступления в интервале Δt более одного события стремится к нулю быстрее, чем Δt:

;

3. условию отсутствия последействия: частоты появления событий в непересекающихся интервалах времени независимы, т.е. появление k событий в I -ом интервале Δt_i не зависит от того, с какой частотой появлялись события в предшествующие моменты времени.

Эти условия достаточно жесткие и редко, когда удается строго показать, что они выполняются для реального процесса. Обычно легче показать какое условие не выполняется и при моделировании рассматриваемого процесса потоком Пуассона обязательно оговорить невыполнение этого условия или изменить модельные условия, чтобы сгладить отступление от строгого выполнения всех вышеприведённых условий. Например, для одного станка появление несоответствующего размера детали зависит от износа инструмента и, следовательно, частота появления этого события не будет пропорциональна интервалу времени (будет расти с ростом износа инструмента). Однако, если рассматривать несколько станков со случайными (равномерными) моментами смены инструментов, то применимость простейшего потока для описания появления несоответствий будет вполне оправданной. Применима эта модель и, если под моментами времени Δt полагать интервалы между сменами инструмента. Чаще всего распределение, связанное с простейшим потоком используется как упрощение более точных моделей, описываемых гипергеометрическим или биномиальным распределением.

Распределение, моделирующее простейший поток, подчиняется распределению Пуассона:

Р(d=k) = р₀(d=k λ)= (2.18)

Это распределение имеет функцию распределения:

P₀(d<k λ) = (2.19)

При этом единственный параметр этого распределения равен:

λ = n·P

Математическое ожидание и дисперсия этого распределения равны параметру λ:

M[d] = λ = n·P (2.20)

σ_р² = λ = n·P (2.21)