9.3.2 Оценка технологической возможности производства для количественного признака качества

Прежде всего, следует проверить количественные признаки качества с помощью критерия согласия Пирсона на соответствие вида их распределения нормальному закону. Для проверки соответствия нормальному закону распределения необходимо вычислить среднее и дисперсию контрольной совокупности числовых значений признаков качества по формулам:

; (9.8)

(9.9)

где - среднее значение контрольной совокупности признаков качества;

S² – дисперсия контрольной совокупности значений признаков качества;

х_ij - j-е значение признака качества в i-ой выборке;

n - суммарное число проконтролированных значений признака качества в контрольной совокупности.

Дополнить данными таблицу 9.2. Перед заполнением таблицы необходимо объединить все значения признаков качества в единую контрольную совокупность и представить их в приведенном виде:

y_j= , (9.10)

где y_j – приведенное значение признака качества;

х_ij - i-е значение признака качества в j-ой выборке;

- среднее значение контрольной совокупности n значений признаков качества, вычисленное по формуле (9.8);

S² – дисперсия контрольной совокупности n значений признаков качества, вычисленная по формуле (9.9).

В таблице 9.2 в первой колонке приведены рекомендуемые контрольные диапазоны, во второй колонке – предполагаемые частоты попадания значений нормально распределенной случайной величины в контрольные диапазоны. В третью колонку заносятся ожидаемые числа попаданий результатов контроля m_i, рассчитанные по формуле (9.10), при условии, что вид их распределения в точности соответствует нормальному закону:

m_i=n·Ф_i (9.11)

где Ф_i - частота попаданий случайной величины со стандартной нормальной функцией распределения в контрольный диапазон.

В колонке (4) приводятся фактические частоты попадания в контрольные диапазоны колонки (1) приведенных по формуле (9.16) значений признаков качества y_l. В колонке (5) приводятся слагаемые контрольной статистики ², рассчитываемые построчно по формуле:

 .

Вид закона распределения контрольных значений соответствует нормальному, если сумма значений в колонке (5) не превысит критического значения , равного 16,92 ( - граничная точка верхней 5 %-ой области ² - распределения с f = 9 - степенями свободы (f=c-3, где c=12 – число контрольных диапазонов)).

Таблица 9.2

Контрольный диапазон	Фi - предполагаемая частота попаданий в контрольный диапазон	mi=n·Фi - ожидаемое число попаданий в контрольный диапазон	Фактическое число приведенных значений yl, попавших в контрольный диапазон	Вклад в статистику 2
1	2	3	4	5
-  -2,0·	0,02275
-2,0  -1,5·	0,04406
-1,5  -1,0·	0,09185
-1,0  -0,6·	0,11559
-0,6  -0,3·	0,10784
-0,3  0	0,11791
0  +0,3·	0,11791
+0,3  +0,6·	0,10784
+0,6  +1,0·	0,11559
+1,0  +1,5·	0,09185
+1,5· +2,0·	0,04406
+2,0· +	0,02275
Сумма:

Последующее исследование параметров точности и стабильности процессов производства для каждого количественного признака удобно выполнять, представив результаты расчетов в виде таблицы 9.3. Первые три колонки таблицы 9.3 заполняются также как соответствующие колонки таблицы 9.1. В колонке (4) построчно приводятся значения признаков качества для каждой выборки, в колонке (5) – средние значения для каждой выборки , рассчитанные по формуле:

, (9.12)

где х_ij - i-е значение признака качества в j-ой выборке;

n_j – объем j-ой выборки.

В колонке (6) построчно приводятся дисперсии значений признаков качества _j² для каждой выборки:

_j² . (9.13)

В колонке (7) и (8) для каждой выборки приводятся результаты промежуточных вычислений: (n_i-1)·_i² - произведение уменьшенного на единицу объема выборки на дисперсию выборки – в колонке (7) и (n_i-1)·Ln(_i²) - произведение уменьшенного на единицу объема выборки на нормальный логарифм дисперсии выборки – в колонке (8). В последней строке колонок (3), (4), (6), (7) и (8) – записать суммы значений соответствующих колонок.

Для проверки равенства выборочных дисперсий следует воспользоваться критерием Барлетта (использование критерия Барлетта возможно только в случае подтверждения гипотезы о нормальном законе распределения признака качества). Для этого необходимо вычислить:

;

;

_в²= .

(Значения сумм в формулах (9.23) и (9.24) берутся из последней строки колонок (7) и (8) таблицы 9.3 соответственно).

Гипотезу о равенстве выборочных дисперсий можно принять, если значение статистики _в² не превышает критического значения _вкр², равного граничной точке верхней 5%-ой области ²-распределения с m-1 степенью свободы, где m – число выборок.

Таблица 9.3

Номер выборки (группы)	Условия формирования	Nj	Результаты измерения		j2	(nj-1)·j2	(nj-1) ·Lnj2
1	2	3	4	5	6	7	8
1 2 ... m	(как в таблице 9.1)	N1 N2 ... Nm	х11; х12; …; х1n1 х12; х22; …; х2n2 ... хm1; хm2; …; хmn	...	12 22 ... m2	(n1-1)12 (n2-1)22 ... (nm-1)m2	(n1-1)Ln12 (n2-1)Ln22 ... (nm1)Lnm2
Сумма по всем выборкам:

Средний уровень несоответствий q_cp, а также нижнюю q_н и верхнюю q_в границы уровня несоответствий, обеспечиваемые технологическими

возможностями производства, для количественных признаков качества, определить следующим образом:

1) оценить верхнюю _в и нижнюю _н границы среднего значения генеральной совокупности признаков качества:

;

,

где - среднее значение контрольной совокупности, рассчитанное по формуле (9.8);

S² – дисперсия контрольной совокупности, рассчитанная по формуле (9.9);

u_(1+)/2 - квантиль стандартного нормального распределения уровня (1+)/2

(для g=0,9 u_(1+g)/2=1,645; для g=0,95 u_(1+g)/2=1,960; для g=0,99 u_(1+g)/2=2,576);

(Верхняя и нижняя границы определяют двусторонний интервал, который с вероятностью не ниже  накрывает среднее значение признаков генеральной совокупности).

2) средний уровень несоответствий q_cp, а также нижняя q_н и верхняя q_в границы уровня несоответствий, обеспечиваемые технологическими возможностями производства определяются с помощью стандартной функции нормального распределения Ф(…) по формулам:

- если в нормативно-технической документации (НТД) задано нижнее предельное значение признака качества х_н (изделие годное, если хх_н):

; ; .

- если в НТД задано верхнее предельное значение признака качества х_в (изделие годное, если хх_в):

;

;

;

- если в НТД заданы обе и верхняя х_в, и нижняя х_н границы признака качества (изделие годное, если х_нхх_в):

;

q_н = min(q₁, q₂);

q_в = max(q₁, q₂),

где значения q₁ и q₂ вычисляются по формулам:

;

.

В стандартных системах СПК величина q_н называется «приемлемым уровнем несоответствий (AQL)», величина q_в называется «предельным или браковочным уровнем несоответствий (RQL)». В качестве нормативного уровня NQL рекомендуется принимать значение, равное q_в, в качестве AQL – значение q_н (допускается в качестве AQL принимать любое значение не превышающее q_н, в качестве NQL – любое значение более q_в).

1 Любой статистический анализ в конечном итоге должен быть представлен в виде двух цифр: цифры предпочтения и цифры риска. Цифра предпочтения определяет принимаемое решение, а цифра риска – вероятность ошибочности принятого на основе цифры предпочтения решения.

2 Лапидус Вадим Аркадьевич – доктор технических наук, профессор, один из ведущих специалистов и консультантов в области качества, ответственный редактор журнала «Методы менеджмента качества», академик Академии проблем качества РФ, Председатель ИСО/ТК 69/ПК4 «Статистическое управление процессами» (1991 – 1999 гг.), Член Совета Международной Гильдии профессионалов качества, член Американского общества по качеству (АSQ).

* Примечание. *По ГОСТ Р 50779.10 термин “доверительный интервал” относится к параметрам распределения, в ГОСТ Р 50779.30, ГОСТ Р 50779.50 - ГОСТ Р 50779.53 и этот термин используется более широко, так как применяется и к уровню несоответствий в партии, который не является параметром распределения.