8.6 Контрольные карты с памятью

В отличие от традиционных КК Шухарта, контрольные карты с памятью учитывают информацию не только от только что полученной выборки, но и информацию от предыдущих выборок. Именно поэтому этот тип карт и называется «КК с памятью». Теория построения таких карт основывается на общей теории обработки сигналов, представленных в виде временных рядов. В общем виде значение переменной Y(g(x)), которое наносится на поле любой КК, представима в виде линейного соотношения:

Y(g_t(x)) = a +  , (8.6.1)

г де индекс t относится к текущему значению g(x), а индекс i – к предыдущим значениям контролируемой статистики g(x) (см. рисунок 8.1).

В таком представлении обычные КК Шухарта являются частным случаем при а = 0, b_i = 0 для i  t и b_i = 1 для i = t.

Наиболее простыми КК с памятью являются MOSUM-карты, для которых а =0 и b_i = , т.е. значения предыдущих статистик входят в текущую с весовым коэффициентом, обратнопропорциональным расстоянию от текущего момента t. Построенная по такому принципу переменная g_t(x) называется скользящим средним (moving sum). В качестве статистики в MOSUM-картах могут использоваться любые как количественные, так и альтернативные показатели. Наиболее часто этот тип карт применяется для R-карт в случае сдвоенных карт индивидуальных значений, когда объём выборки n=1 и за размах принимается разность между соседними индивидуальными значениями:

R_i = X_i – X_i-1.

Для построения EWMA-карт используют экспоненциально-взвешенное среднее (exponentially weighted moving average):

Y(g_t(x)) = (1-d) g_t-1(x) + d g_t(x)  (0< d < 1),

где g_t-1(x) – значение контролируемого параметра, полученного на предыдущем шаге, которое в свою очередь учитывала предшествующее значение g_t-2(x), и т.д.

Можно показать, что:

Y(g_t(x)) = (1-d)^t g₁(x) + d .

Т.е. для этого типа КК а = (1-d)^t g₁(x) , а коэффициенты b_i = d(1-d)^t-i представляют собой убывающую геометрическую прогрессию. При d = 1 получаем обычную КК Шухарта. (Проверьте!)

В KUSUM-карте в качестве контрольной величины используется накопленная (кумулятивная) сумма разностей между статистикой и её номинальным значением:

Y(g_t(x)) = , (8.6.2)

где g_ном – номинальное (требуемое) значение статистики g(x), соответствующее средней линии КК.

Для этого типа карт а = -tg_ном, b_i = 1.

Рассмотрим как работает КК с памятью на примере KUSUM-карты средних значений. Как только появляется сдвиг в виде ступеньки _ = _t  _ном или в виде тренда _t = _ном  (t), то согласно (8.6.2), контрольная переменная начинает изменяться по линейному закону:

Y(g_t(x)) = (_t - _ном)=

Графически это показано на рисунке 8.6.2, на котором представлены «реакции» КК Шухарта (рис. 8.6.2(а)) и KUSUM-карты (рис. 8.6.2(б)) на появление в момент t единичного ступенчатого изменения _. На рисунке 8.6.2 заштрихованная область – это область попадания контрольных точек.

Из рисунка 8.6.2 видно, что КК Шухарта после появления «ступеньки» далеко не всегда отреагирует выходом контрольной точки за пределы контрольной линии. В KUSUM-карте практически любое отклонение процесса от статистически устойчивого состояния приведёт к возрастающему отклонению точек от номинальной линии. В случае ступеньки это отклонение будет линейным и пропорциональным «величине» ступеньки, а в случае тренда – нелинейным, причём характер роста отклонения даст представление о характере тренда. Более детальный анализ KUSUM-карты проводится с помощью V-маски (см., например, ГОСТ Р 50779.45).