8.5.4 Распределение стандартного отклонения

Генеральные совокупности позволяют строить распределения, имеющие меньший разброс, такие как распределение выборочных средних, стандартных отклонений или размахов. И если каждая генеральная совокупность имеет свое среднее и стандартное отклонение, то и каждое распределение выборочных средних, стандартных отклонений или размахов как случайных величин тоже имеет собственное среднее и стандартное отклонение.

К сожалению, статистическая теория не может дать такие полезные обобщения распределения s, как это делается для . В случае с теория дает ожидаемое среднее  и ожидаемое стандартное отклонение , причем обе оценки не зависят от закона распределения генеральной совокупности. Более того, теория утверждает, что в случае нормальности распределения генеральной совокупности распределение значений также будет нормальным вне зависимости от размера выборки. Также утверждается, что, даже если распределение генеральной совокупности не является нормальным, распределение значений будет стремиться к нормальному при увеличении размера выборок. Тем не менее, если генеральная совокупность нормальна, статистическая теория может дать нам ожидаемое среднее и ожидаемое стандартное отклонение распределения s. Как уже было отмечено, в выборках из нормальной генеральной совокупности ожидаемое среднее равно c₄_s. Наиболее часто используемой оценкой _s, ожидаемого стандартного отклонения распределения s для выборок из нормальной генеральной совокупности, является . Также известно, что при увеличении n распределение s становится все более симметричным.

Теоретические знания о распределении s для выборок из нормальной совокупности позволяют строить 3-сигма границы на контрольных s-картах. Центральная линия на контрольной карте устанавливается на уровне . Пределы задаются как .

Приблизительное значение _s для нормальной совокупности равно

(8.2)

Современная статистическая теория дает точное значение, равное:

(8.3)

Когда n велико, разность между точным и приближённым значениями незначительна. Уравнение (8.3) используется для вычисления контрольных пределов, когда n равно или меньше 25; уравнение (8.2) используется при n, большем 25.

Когда границы 3-сигма для s-карты вычисляются по наблюдаемому , они равны:

Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения генеральной совокупности , они равны:

UCL_s =  + 3_s = B₆

LCL_s =  - 3_s = B₅

При вычислении _s для множителей B₄ и B₃, приведенных в таблице 8.8,  полагается равной . Множители B₅ и B₆ берутся из таблицы 8.9.

8.5.5 Распределение размахов

Несмотря на то, что не существует простой формулы для вычисления как ожидаемого среднего размаха R, так и для стандартного отклонения размаха _R, статистическая теория дает отношение этих величин к стандартному отклонению  для нормальной генеральной совокупности. Теория также полностью определяет ожидаемое распределение R выборок из нормальной генеральной совокупности.

Когда 3-сигма пределы вычисляются по наблюдаемому R, они равны:

Когда пределы основаны на известном или предполагаемом значении стандартного отклонения , они равны

В этих формулах множитель d₂ численно выражает ожидаемое значение , а множитель d₃ выражает стандартное отклонение этой взаимосвязи. Значения d₂ и d₃ берутся из таблицы 8.6. Множители, необходимые для вычисления контрольных пределов, содержатся в таблицах 8.7 и 8.9.