8.5.3 Контрольные карты размаха и стандартное отклонение выборки

Основной формулой для контрольных пределов на -карте является . Подобным образом выглядят формулы для контрольных карт при измерении дисперсии выборок:

Для R-карты:

Для s-карты:

Однако при использовании этих трех формул для вычисления нижних контрольных пределов эти пределы станут меньше 0, когда n равно или меньше 6 для R-карт, и когда n равно или меньше 5 для s-карт. Так как R и s не могут быть меньше 0, нижняя граница в этих случаях не используется.

На рисунках 8.4 и 8.5 показаны контрольные карты R и s для 100 выборок по четыре, представленных в таблице 8.2. Пределы на этих картах вычислены с использованием соответствующих значений и , найденных по таблице 8.2 с помощью уравнений, приведенных в таблице 8.3.

 

Рисунок 8.4

 

Рисунок 8.5

 

Сходство изменчивости от выборки к выборке на R и s картах становится заметным при проведении линии, последовательно соединяющей все точки. Кажется очевидным, что обе карты показывают одинаковую историю. Каждая из них может быть использована для отображения истории процесса; нет необходимости использовать сразу обе.

Целью проведения вычислений как R, так и s для данных в таблице 8.2 было показать, что R и s являются альтернативными измерениями одной и той же характеристики, что они приводят к сходным оценкам , сходным контрольным пределам для -карт и сходным контрольным картам, показывающим разброс выборок.

При практическом использовании контрольных карт в промышленности для измерения разброса выборок намного чаще используется R, а не s. Как уже было сказано, такой выбор делается вследствие простоты вычисления R с помощью ручных расчетов. Также важно то преимущество, что R более просто для понимания: почти каждый может понять смысл размахов, тогда как люди со слабым знанием статистики с трудом понимают смысл стандартного отклонения.

8.5.4 Оценки  по и при различных объемах выборок в контролируемых процессах

В предшествующем описании -карт предполагалось, что ширина интервала между верхними и нижними контрольными пределами полностью зависит от изменчивости внутри выборок, которая измерялась с помощью среднего размаха или с помощью среднего стандартного отклонения выборок . Оба способа оценки, и , дают оценку , стандартного отклонения генеральной совокупности. Представляет интерес изучение свойств контролируемого процесса в предположении, что эти оценки  зависят от размера выборки n.

Если образцы выбираются один за другим из нормально распределённой совокупности, каждый образец после проверки возвращается и образцы перемешиваются перед очередным взятием выборки (выборка с возвращением), не существует некоторого естественного размера выборок, т.е. допустимо объединять образцы в выборки любого размера. Для иллюстрации эффекта различия в объеме выборок 400 отобранных образцов были разбиты на выборки по 2, 4, а затем по 8 образцов в выборке, и для каждой выборки были вычислены значения R и s. Значения и для выборок по 2 и по 8 были вычислены для каждого набора по 80 отобранных образцов, и для всех 400 отобранных образцов  была оценена по и с использованием соответствующих множителей d₂ и c₄ из таблицы 8.6.

В таблице 8.4 показаны оценки  для каждого набора по 80 образцов и для всех 400 образцов с использованием статистик и для оценивания и для трех различных размеров выборок. Можно отметить весьма близкое соответствие между различными оценками  для любого набора образцов. Очевидно, что разброс оценок  от одного набора из 80 образцов к другому значительно больше, чем разброс между различными оценками для любого набора. Казалось бы, с точки зрения оценки дисперсии генеральной совокупности приемлемы многие различные размеры выборок. (Точно так же будет замечено, что и дают одинаковые оценки  для выборок размера 2. Размах выборки размера 2 равен умножить на стандартное отклонение выборки. Следовательно, d₂ равно умножить на c₄, и равно умножить на ).

Таблица 8.4 - Сравнение оценок стандартного отклонения генеральной совокупности  по выборкам размера 2, 4 и 8 (известное значение  = 9.95)

Наблюдения	Оценки 
	Выборки по 2		Выборки по 4		Выборки по 8
	По	По	По	По	По	По
1-80 81-160 161-240 241-320 321-400	8.62 10.75 9.73 8.86 11.68	8.62 10.75 9.73 8.86 11.68	8.94 10.51 10.51 8.89 11.56	8.97 10.64 10.48 9.06 11.48	9.24 10.50 9.76 8.85 11.98	8.98 10.58 9.89 9.02 12.17
1-400	9.93	9.93	10.08	10.12	10.07	10.13

Несмотря на то, что достаточно хорошие оценки  могут быть получены по различным выборкам разного размера, в конкретных случаях часто имеются основания для выбора определенного размера выборки.