6.3. Правила принятия решений на основе толерантных границ (по гост р 50779.50)

Согласно общему определению толерантных границ (см., ГОСТ Р 50779.10 и п. 3.2), толерантными называются верхняя _в и нижняя _н границы интервала значений случайной величины Y, внутри которых с заданной вероятностью  заключена не менее, чем доля q_г всей генеральной совокупности:

Р { P (_н ≤ Y ≤ _в) ≥ q_г } = . (6.17)

Применительно к методам статистического контроля качества это определение удобно несколько видоизменить. Под толерантными границами количественного признака качества будем понимать такие случайные значения показателя качества _в и _н, зависящие от результатов выборочного контроля, функции и параметров распределения признака качества, в пределах которых с вероятностью не менее 1- заключены значения признака качества доли, равной 1-NQL от всех изделий в партии:

(6.18)

где - функция распределения значений показателя качества с вектором параметров распределения

В (6.18) по сравнению с (6.17) переставлены местами знаки равенства и неравенства, поскольку в соответствии с общими положениями (см. ГОСТ Р 50779.30-95) нормативное значение уровня несоответствий NQL строго задается в технических условиях или в договоре, а риск потребителя при контроле поставщика должен быть ограничен сверху значением . Для планов контроля потребителя аналогичное выражение будет выглядеть следующим образом:

.

Чтобы найти доверительные вероятности определения значений случайных величин _в и _н, представим (6.18) в виде условной вероятности:

Р_в {_н < y< _в} = 1 - ,

где событие В: .

Обозначив ₁ = Р_в(y_i > _н) и ₂ = Р_в(y_i < _в) – доверительные вероятности определения _в и _н, можно записать, считая события выхода y_i за границу _в или _н независимыми:

Р_в {y_i < _н} + Р_в {y_i > _в} = 

или

 = 1 - ₁ +1 - ₂ = 2 – (₁ + ₂) = 1 - . (6.19)

Сравнивая (6.19) с (6.7), легко установить эквивалентность вероятностей:

Р(q  q_в)  P(_н    _в)  Р_в(_н  y  _в) = (₁ + ₂) - 1 =  = 1 - . (6.20)

Откуда следует, что при нормальной функции распределения признака качества со стабильной (известной) дисперсией ² для обеспечения доверительной вероятности  = 1 -  при использовании правила приёмки партии по (6.1) у поставщика или по (6.8) у потребителя толерантные границы _н и _в должны удовлетворять соотношению:

, (6.21)

где ^* - интервальная оценка среднего значения признака качества, определяемая по выборке (см. п.6.1):

а) для плана поставщика:

б) для плана потребителя:

К тому же самому соотношению можно придти и несколько другим путем. Используя непосредственно соотношение (6.5) при q_в = NQL, граничные значения признака качества b = x_в и a = x_н, в пределах которых заключены значения доли 1- NQL годных изделий. В соответствии с (6.18) эти предельные значения и будут толерантными границами, если выполняется равенство:

Откуда непосредственно следует (6.21).

Аналогичным образом можно получить связь расчетных соотношений методов толерантных и доверительных границ для плана потребителя.

Соотношение (6.20) приводит к двум важным выводам:

1) возможность проверки соответствия группового показателя качества партии установленным требованиям по значениям толерантных границ: партия соответствует требованиям, если обе толерантные границы находятся в пределах поля допуска (x_в ≤  b и (или) x_н ≥ a);

2) методы доверительных интервалов и толерантных границ при контроле качества по количественным признакам в рамках концепции ПРП (см. ГОСТ Р 50779.50) – эквивалентны, т.е. при одних и тех же исходных данных приводят к одним и тем же результатам.

Соотношение (6.21) представляет собой одно уравнение с двумя неизвестными (_в и _н). Для его решения необходимо дополнительное условие. Например, при одностороннем ограничении признака качества (изделие годное, если у  а или, если у ≤ b) можно принять в=+∞, если задано только а, или а = -∞, если задано только b. Тогда с доверительной вероятностью равной 1 соответствующая толерантная граница так же будет равняться +∞ или -∞. Для плана поставщика при заданной только нижней границе признака качества а, можно принять: _в = +. Поэтому из (6.21) следует:

.

Откуда легко получить:

=   - k,

где k =  - приёмочный коэффициент, зависящий только от исходных данных плана контроля (сравни с (5.9)).

Таким образом, получена формула, позволяющая по выборке с установленной достоверностью принимать решение о соответствии или несоответствии партии требованиям к её групповому показателю качества с помощью толерантной границы (см. пример 2 приложения Г ГОСТ Р 50779.50-95): партия соответствует требованиям к её групповому показателю качества, если толерантная граница не выходит за предельное значение признака качества.

Легко показать, что в случае задания верхней границы признака качества в, верхнюю толерантную границу можно определить по формуле:

=   + k.

Аналогично, для планов потребителя можно получить:

, при заданном только а;

, при заданном только b.

Гораздо сложнее расчет толерантных границ при задании обоих предельных значений признака качества (изделие годное, если а ≤ y_i ≤ b). Обычно, в этом случае в качестве дополнительного условия используют условие симметричности:

;

,

где ℓ - множитель, имеющий одно и то же значение для _н и _в.

Тогда соотношение (6.21) будет представлять собой уравнение с одним неизвестным (ℓ):

,

которое после несложных преобразований можно записать в следующим виде:

. (6.22)

Решить (6.22) можно численными методами. В справочниках по статистике приведены таблицы значений множителей ℓ, удовлетворяющих уравнению (6.22), но для весьма ограниченных значений параметров  и NQL. Кроме того, следует учитывать, что при определении толерантных границ с использованием допущения о симметричности теряется эквивалентность методов толерантных и доверительных границ. В самом деле, в этом случае выполнение одного из условий _н < a или _в > b еще не означает превышения уровня несоответствий партии заданного значения NQL. Проще всего это можно продемонстрировать графически. На рисунке 6.2 представлен случай выхода нижней толерантной границы за пределы нижнего предельного значения признака качества а. Очевидно, что партию можно браковать только при условии, если площадь S₁ превышает площадь S₂. Иными словами, использование в этом случае правила принятия решения о несоответствии по ГОСТ Р 50779.50-95 приводит к неконтролируемому увеличению риска стороны, производящей контроль, что в ряде случаев крайне нежелательно.

Естественно, существуют способы расчета _н и _в при двустороннем ограничении признака качества с сохранением эквивалентности методов толерантности и доверительных границ по ГОСТ Р 50779.50-95. Можно, например, поступить следующим образом. Приравняем одну из толерантных границ (любую) соответствующему предельному значению признака качества (например, _в = b при или _н = а при ). Математически это означает, что фиксированная таким образом толерантная граница определена с доверительной вероятностью равной 1. Остается найти другую толерантную границу с уровнем доверия:

 = 2 -  -1 = 1 - ,

поскольку в соответствии с (6.19) требуется, чтобы для суммы уровней доверия обеих

Рисунок 6.2

толерантных границ выполнялось соотношение ₁+ ₂ = 2 ‑ . Например, для случая зафиксируем _в = b, тогда из (6.19) можно получить:

или ,

где обозначено - доля изделий с признаками качества y_i < в, вполне определяемая по выборочному среднему значению и исходным данным плана контроля. Окончательно для этого случая нижнюю толерантную границу можно рассчитать по формуле:

.

Решение о соответствии в этом случае принимается, если окажется, что _н  а, в противном случае следует принять решение о несоответствии партии.

Аналогично для случая можно получить:

_н = а;

,

где - доля изделий с признаками качества y < а.

Правило принятия решения в этом случае основывается на сравнении _в с b: если _в ≤ b, то партия соответствует требованиям, предъявляемым к уровню её несоответствий; если _в > b, то партия не соответствует требованиям.

Если подходить с чисто практической точки зрения, то, очевидно, что расчет по формулам метода толерантных границ значительно сложнее, чем расчет по методу доверительных границ. Сложность определения толерантных границ существенно возрастает в случае неизвестной дисперсии, и тем более при распределении признака качества, отличном от нормального закона. И вообще, трудно найти причины, по которым исполнитель (разработчик плана выборочного контроля) предпочтёт метод толерантных границ более простому методу доверительных границ. Однако, математический подход к определению толерантных границ существенным образом может помочь технологам и конструкторам при установке и корректировке допусков на количественные признаки качества.