6.2 Предельное значение при приёмочном контроле качества по стандартам концепции прп.

Представленный в предыдущем разделе теоретический подход к приёмочному контролю качества на основе соотношения (6.1) позволяет, в частности, корректно оценить минимально допустимое значение отношения поля допуска показателя качества  = b – а к стабильному и, следовательно, известному значению стандартного отклонения . Т.е. уточнить предельное значение отношения (где, по-прежнему, а и b – предельные значения показателя качества у: изделие годное, если а £ y_i £ b), которое допускает контроль установленного значения уровня несоответствий NQL выборочными методами. В табл. 2 ГОСТ Р 50779.53 приведен вариант предельных значений этого отношения без каких-либо указаний о том, каким образом эти значения получены. При этом подчеркнуто, что для меньших значений , соответствующее значение NQL "может быть подтверждено практически только сплошным контролем поставщика" (см. примечание к п. 3.7 ГОСТ Р 50779.53). Это утверждение не согласуется с данным из таблиц А7 - А11 приложения А ГОСТ Р 50779.53. В самом деле, если поставщик, используя соответствующие методы управления качеством (в том числе и средства SPC), предполагает, что математическое ожидание показателя качества изготовленных партий продукции принимает значение максимально близкое к середине поля допуска: . Тогда предполагаемый запас качества g по табл. А1 оказывается равным половине предельных значений по табл. 2 ГОСТ Р 50779.53:

g = .

Казалось бы, предельные значения по табл. 2 ГОСТ Р 50779.53 не должны превышать удвоенных значений предполагаемого запаса качества по таблицам приложения А для любых, по крайней мере, приведенных в этом приложении объемов выборки (до n = 200). Однако, согласно табл. А7 (β = 0,1), выборочный приемочный контроль поставщика обеспечивает приемку партий с вероятностью не менее 0,95, например, для NQL = 0,15 % и n = 40 при отношении  = 6,96, т.е. при меньшем значении, чем  = 7, приведенном в табл. 2 (для более высоких значений β и объёмов выборки n использование выборочных методов контроля оказывается возможным и при меньших значениях отношения ).

Не имея представления как рассчитаны значения в табл. 2 ГОСТ Р 50779.53, предлагаем свой способ получения предельных значений . Известно (см., п. 5.3.4), что минимальный уровень несоответствий, который может быть обеспечен при двустороннем ограничении нормально распределенного показателя качества определяется по формуле:

, (6.10)

которая получается при среднем значении показателя качества партии в точности равном середине поля допуска, т.е. при m = y*. При выборочном контроле выборочное среднее с доверительной вероятностью 2×h может попасть в интервал:

.

Удобно связать этот доверительный интервал с собственным риском поставщика при контроле поставщика a*, тогда:

или, учитывая, что для минимального фактического уровня несоответствий q_min по (6.10) необходимо выполнение равенства:  = y*, можно записать:

, (6.11)

где ^*= 0,05 - 0,1 – рекомендуемые значения собственного риска стороны, выполняющей контроль (см. ГОСТ Р50779.50).

Формула (6.11) отражает тот факт, что даже, если в идеальном случае с целью обеспечения q_min поставщику удаётся поддерживать свой технологический процесс таким образом, чтобы выполнялось условие  » y*, всё равно в силу неопределённости из-за использования выборочных методов контроля, значение выборочного среднего с вероятностью 1-a* будет попадать в интервал [ , ].

Кроме того, поскольку для принятия решения о соответствии или несоответствии партии, с NQL необходимо сравнивать верхнюю границу уровня несоответствий в партии q_в, следует учесть возможность дополнительного отклонения выборочного среднего от y^*, связанную обеспечением риска потребителя при контроле поставщика (см. п. 6.1):

(6.12)

где g* = 1- b/2 – уровень доверия, обеспечивающий риск потребителя при контроле поставщика не более b.

В силу симметричности расположения интервальных оценок математического ожидания признака качества партии _н и _в относительно y*, достаточно рассмотреть случай < y* (случай приводит к аналогичным результатам).

С учётом (6.12) доли изделий с показателями качества меньше нижней границы допуска Ф₁ и больше верхней границы допуска Ф₂ (см. соотношения (6.5)) можно представить в виде:

(6.13)

Таким образом, предельно - минимальное значение для любого заданного NQL = q_в  будет соответствовать равенству:

(6.14)

Представим (6.14) в виде:

_{NQL = c1×NQL + c2×NQL,} 

где c₁ + c₂ = 1 (с₁ и с₂ – неслучайные множители такие, что Ф₁ = с₁×NQL и Ф₂ = с₂×NQL).

Тогда можно записать:

Или, переходя к квантилям:

(6.15)

Складывая и вычитая почленно уравнения системы (6.15), получим:

(6.16)

Рассматривая систему (6.16), легко установить, что:

1. в силу монотонности обратной (квантильной) функции нормального стандартного распределения второе уравнение системы (6.16) дает единственное решение относительно с₁ и с₂ (с учетом с₁+ с₂=1);

2. определив с₁ и с₂ из второго уравнения системы (6.16), можно рассчитать по первому уравнению предельное значение для любого значения NQL;

3. предельное значение зависит от значения комплекса , т.е. от принятых доверительных вероятностей η и ^* и от объема выборки n. Причем при любых значениях η и ^* этот комплекс стремится к 0 при n→ ∞, т.е. в пределе (при n = ∞), z_c1×NQL - z_c2×NQL= 0 или c₁ = c₂ = 0,5. В этом случае значение будет равно:

 = 2×z_1-NQL/2 =  , (6.17)

что соответствует (5.32) при q_min = NQL. Нетрудно проверить, что в табл. IV ГОСТ Р 50779.74 значения f_ равны обратным значениям по (6.17), т.е. f_ =1/ . Очевидно, что при любых значениях h, g* и n, значение не может быть меньше ( )_min.

Зависимость от g* и n обусловлена неопределенностью результатов контроля статистическими методами и поэтому в соответствии с ПРП, эту неопределенность следует отнести в пользу второй стороны, т.е. потребителя при контроле у поставщика. По ГОСТ Р 50779.50 максимальное значение * соответствует значению риска потребителя β = 0,1. Максимальный (табличный) объем выборки по ГОСТ Р50779.53 составляет n = 200. При этих значениях n, * и a* = 0,05 левая часть второго уравнения системы (6.16) будет равна:

.

В таблице 6.1  представлены рассчитанные для этого случая значения с₁ и с₂ и предельные значения , соответствующие значениям NQL из ряда по ГОСТ Р 50779.53. Там же приведены значения ( )_min по (6.17) и значения "хвостов" Ф₁, Ф₂.

Таблица 6.1

NQL,%		()min		с1	с2	Ф1	Ф2	qв=Ф1+Ф2	Ф2/NQL,%
0,15	7,0	6,3493	6,5389	0,8584	0,1416	0,001288	0,000212	0,0015	14,1
0,25	6,5	6,0466	6,2287	0,8493	0,1507	0,002123	0,000377	0,0025	15,1
0,4	6,2	5,7563	5,9308	0,8399	0,1601	0,003359	0,000641	0,004	16,0
0,65	5,8	5,4429	5,6092	0,8294	0,1706	0,005391	0,001109	0,0065	17,1
1,0	5,5	5,1517	5,3102	0,8193	0,1807	0,008193	0,001807	0,01	18,1
1,5	5,3	4,8648	5,0156	0,8089	0,1911	0,01213	0,002867	0,015	19,1
2,5	4,8	4,4828	4,6230	0,7945	0,2055	0,01986	0,005138	0,025	20,6
4,0	4,5	4,1075	4,2370	0,7797	0,2203	0,03119	0,008812	0,04	22,0
6,5	4,1	3,6905	3,8079	0,7626	0,2374	0,04957	0,01543	0,065	23,7
10	3,6	3,2897	3,3951	0,7456	0,2544	0,07456	0,02544	0,1	25,4
15	3,3	2,8791	2,9719	0,7276	0,2724	0,10915	0,04085	0,15	27,2
25	2,7	2,3007	2,3755	0,7018	0,2982	0,17544	0,07456	0,25	29,8
Примечание.* По таблице 2 ГОСТ Р 50779.53

Из представленного анализа следует, что:

1. минимально-допустимые значения отношения при организации приёмочного контроля качества в рамках концепции ПРП в отличие от системы AQL зависят не только от уровня несоответствий в партии, но и от объёма выборки n и значений рисков a*, b;

2. при увеличении объёма выборки предельные значения стремятся к обратным значениям коэффициентов f_s, представленных в табл. IV ГОСТ Р 50779.74. По-видимому, именно эти значения можно принять в качестве действительно предельных значений, допускающих приёмочный контроль качества выборочными методами, в том числе и в рамках ПРП;

3. расчётные значения параметров планов выборочного контроля неизбежно будут зависеть и от конкретного значения ;

4. в случае реальных значений , близких к предельным, при расчёте параметров планов контроля следует учитывать оба «хвоста» распределения за пределами поля допуска.