5.3.3 Планы выборочного контроля по количественному признаку в системе aql

Процедура выбора плана контроля для количественного признака качества по системе AQL представлена на рисунке 5.7.

При двустороннем ограничении признака качества стандартом ГОСТ Р 50779.74 предусмотрены два разных способа задания требования к уровню несоответствий в партии. Требование может задаваться отдельно относительно каждой границы поля допуска. Например, для изделий с показателем качества меньше нижней границы допуска уровень несоответствий не должен превышать AQL₁ и не должен превышать AQL₂ для изделий с показателем качества больше верхней границы допуска. Или с одним значением AQL для общей (суммарной) доли изделий вне поля допуска. В первом случае контроль производится по планам для одностороннего ограничения признака качества отдельно для верхней и нижней границы поля допуска с разными планами контроля, если AQL₁  AQL₂.

В стандарте предусмотрены планы контроля с оценкой неизвестной дисперсии по размаху выборки, однако в настоящее время в связи с распространением вычислительной техники эти планы потеряли всякую привлекательность, т.к. они требуют большого объёма выборки.

Процедура выбора плана контроля для количественного признака качества по системе aql (по гост р 50779.74)

6 Планы выборочного контроля по количественному признаку в системе прп

6.1 Связь доверительной вероятности интервальной оценки уровня несоответствий контролируемой партии продукции с доверительной вероятностью оценок параметров функции распределения количественного показателя качества.

Одним из основных положений математической статистики, на которых базируются принципы расчета параметров планов выборочного контроля по ГОСТ Р 50779.50 и ГОСТ Р 50779.53 является связь доверительной вероятности интервальной оценки уровня несоответствий^* контролируемой партии продукции с доверительной вероятностью оценок параметров функции распределения количественного показателя качества. Именно эта связь позволяет по выборке определять с заданной вероятностью верхнюю доверительную границу q_в уровня несоответствий в партии при контроле у поставщика или нижнюю доверительную границу q_н при контроле у потребителя. При этом уровни доверия задаются в договоре или иной нормативно-технической документации в виде риска потребителя  для планов контроля у поставщика и в виде риска поставщика  для планов контроля у потребителя. По-видимому, эта связь, констатация которой представлена в приложении Б ГОСТ Р 50779.50, является "темным" местом даже для наиболее эрудированной части инженерно-технического персонала предприятий (испытателей, конструкторов и технологов), не говоря уже о других специалистах и большей части руководителей, не особенно искушенных в тонкостях математической статистики, и поэтому воспринимающих тексты типа упомянутого приложения не просто как непонятный, а потому бессмысленный набор иероглифов, но и подчас как попытку “скрытого вредительства” с помощью неких дьявольских магических заклинаний на вверенном им участке производства.

Итак, действительно, почему же доверительные вероятности уровня несоответствий в партии и оценок параметров функции распределения показателя качества совпадают? Наиболее просто это можно показать для случая нормального распределения показателя качества со стабильной и, следовательно, известной дисперсией. Партия считается годной, если с вероятностью не менее 1- выполняется условие:

q_в  NQL, (6.1)

где q_в – верхняя доверительная граница уровня несоответствий в партии, вычисляемая по (5.3), но с заменой  на ее верхнюю _в или нижнюю _н доверительные границы, оцениваемые по выборке (при известном значении дисперсии ²):

, при  < y*	(6.2)
, при  ≥ y*

где n – объём выборки;

– середина поля допуска количественного показателя качества;

z_р – квантиль стандартного нормального распределения уровня р причем:

₁ = Р(( < _н)|(  < y*)) и ₂ = Р(( > _в)|(  ≥ y*)), (6.3)

где Р(А|В) – вероятность события А при условии выполнения события B.

Суть замены точечной оценки уровня качества партии на интервальную показана на рисунке 6.1, где представлены графики плотности распределения признака качества для (график 1, отражающий случай точечной оценки уровня несоответствий) и для   _в и   _н (графики 2 и 3 соответственно, представляющие случай интервальной оценки уровня несоответствий). Доля дефектных изделий в партии для всех трех графиков равна площади под соответствующей кривой в области вне отрезка [a, b].

Рисунок 6.1

Таким образом, интервальная оценка уровня несоответствий в партии всегда односторонняя, тогда как интервальная оценка математического ожидания показателя качества партии может быть односторонней при одностороннем ограничении показателя качества или двусторонней при двустороннем ограничении показателя качества. При этом правило принятия решения по-прежнему соответствует рисунку 5.3.

Можно показать (см., например, /4/), что:

	т.е. qв возрастающая функция от при ≥ y*	(6.4)
	т.е. qв убывающая функция от при < y*,

Поэтому верхнюю границу q_в по результатам выборочного контроля у поставщика следует вычислять по формуле:

(6.5)

полностью совпадающей с формулой из примера 1 приложения Г ГОСТ Р 50779.50, если учесть, что 1-Ф(z)=Ф(-z).

Остается определить, какие уровни доверия 1- ₁ и 1- ₂, используемые при вычислении _в и _н по (6.2), обеспечат заданный риск потребителя при контроле у поставщика . Учитывая, что уровень несоответствий в партии q_в является монотонно возрастающей функцией от при и монотонно убывающей при , легко установить, что при получении по результатам выборочного контроля q_в < NQL, выполнение неравенства q  NQL автоматически означает, что q  q_в, а это возможно только при выполнении события  > _в, если , или  < _н, если (см. (6.4) и рисунок 6.1). Принимая во внимание независимость события, заключающегося в попадании выборочного среднего в любую половину допуска [а, b], на основании теоремы о сумме вероятностей двух независимых событий, можно записать:

Р((q > q_в)|(q_в  NQL)) = Р(( < _н)|(  < y*)) + Р(( > _в)|(  ≥ y*)),

или с учётом (6.3):

 = 1 -  = ₁ + ₂, (6.6)

где  - уровень доверия, используемый при построении доверительного интервала уровня несоответствий по результатам контроля поставщика.

Таким образом, вероятности накрытия истинных значений уровня несоответствий q  и математического ожидания   соответствующими доверительными интервалами будут эквивалентны:

Р(q  q_в) = Р(_н|(  < y*)    _в|(  ≥ y*)) = 1 -  = 1 – (₁+₂), (6.7)

Из соотношения (6.7) вытекает важное следствие:

контроль группового показателя качества можно свести к проверке статистической гипотезы о попадании математического ожидания показателя качества  в доверительный интервал с уровнем значимости 1-, что с практической точки зрения означает проверку попадания выборочного среднего между нижней (НПГ) и верхней (ВПГ) предельных границ, которые можно рассчитать или выбрать из соответствующих таблиц стандарта (см. ГОСТ Р 50779.53) до проведения контроля и установить в технических условиях или в иной нормативно-технической документации.

Для случая одностороннего ограничения показателя качества можно принять:

1) при заданном только верхнем предельном значении показателя качества (изделие годное при у_i  b):

а = -, и, следовательно, всегда и ₁ = Р( < _н) = 0;

2) при заданном только нижнем предельном значении (изделие годное при у_i ≥ а):

b = +, и, следовательно, всегда и ₂ = Р( > _в) = 0.

Поэтому, в этом случае, согласно (6.7), _н и _в в (6.3) должны определяться с доверительной вероятностью 1-.

При двустороннем ограничении показателя качества согласно (6.6) и (6.7) существует возможность установки различных значений ₁ и ₂, естественно, при соблюдении условия ₁ + ₂ = . По-видимому, при расчёте параметров планов выборочного контроля следует использовать равные значения ₁ = ₂ = /2. Только в этом случае при проверке гипотезы о попадании математического ожидания в доверительный интервал по значению выборочного среднего будет обеспечиваться наиболее мощный несмещённый критерий, который доминирует все другие критерии с ₁  ₂. С точки зрения стандартизации концепции ПРП это означает, что значения НПГ и ВПГ в табл. 4 – 8 и 11 ГОСТ Р 50779.53 должны иметь разные значения для случаев одностороннего и двустороннего ограничения показателя качества. Тогда применение параметров таких планов контроля (с ₁ = ₂ = /2) для любых планов с ₁  ₂ будет заведомо допустимым в соответствии с п. 5.3 ГОСТ Р 50779.30, т.е. оперативная характеристика (ОХ) плана с ₁ = ₂ в точке с абсциссой q = NQL пройдёт выше, чем ОХ любого плана с ₁  ₂ при прочих равных условиях. Если не придерживаться этого правила, то возможны недоразумения. В качестве примера можно привести построение таблиц 4 – 8 и 11 ГОСТ Р50779.53, содержащих значения коэффициентов К₁ и К₂ для определения нижних и верхних приемочных границ для . Очевидно, что значения коэффициентов в этих таблицах получены по формуле (5.9):

K₁ = z_1-NQL+ - для планов контроля поставщика (см. табл. 4 - 8 ГОСТ Р50779.53);

K₂ = z_1-NQL- - для планов контроля потребителя (см. табл. 11 ГОСТ Р 50779.53).

Не вызывает сомнения правильность этих значений для случая одностороннего ограничения показателя качества (изделие годное, если y_i  a или если y_i  b ). Однако, при двустороннем допуске (изделие годное, если а  y  b) эти таблицы пригодны только для частного случая, когда для каждого предельного значения показателя качества задаётся отдельное значение уровня несоответствий NQL.

В самом деле, если в примере Б1 приложения Б ГОСТ Р 50779.53 значение NQL = 4 % относится ко всем изделиям с диаметром вне поля допуска, а в результате выборочного контроля этого размера выборочное среднее окажется равным нижней приёмочной границе, т.е.  = НПГ = а + К₁, то в соответствии с ГОСТ Р 50779.53 партию можно считать годной. Однако, в соответствии с ГОСТ Р 50779.50:

где К₁ = 1,75 и  = 0,5 (см. пример по п.Б1 Приложения Б ГОСТ Р 50779.53).

Следовательно, по ГОСТ Р 50779.50 получается, что q_в > NQL (даже без учета Ф₂) и, поэтому, партию в этом случае нельзя принять, что противоречит решению по ГОСТ Р 50779.53.

Таким образом, применение правила приемки (6.1) с обеспечением риска потребителя при контроле у поставщика не более заданного значения  предполагает определение _н или _в в (6.2) с доверительной вероятностью

1-₁ = 1-₂ = 1-/2 при двустороннем ограничении показателя качества и 1- при любом одностороннем ограничении, т.е. _в и _н следует вычислять по формулам:

	при двустороннем ограничении показателя качества;
	при любом одностороннем ограничении показателя качества;
	при двустороннем ограничении показателя качества;
	при любом одностороннем ограничении показателя качества.

Кстати, планы контроля с несимметричными уровнями значимости (₁  ₂) вполне могут найти применение. Например, для плана контроля качества толщины слоя покрытия  можно установить разные значения рисков:

₁ = Р((_ < _н)| ( < *)) < ₂ = Р((_ > _в)| ( ≥ *)),

поскольку именно первый риск в большей степени «определяет» качество деталей с покрытием, чем второй, который необходим, прежде всего, для обеспечения экономии материала покрытия. Т.е. при заданных параметрах плана контроля (NQL,  = ₁ + ₂) среди несоответствующих деталей с двусторонним ограничением на толщину покрытия вероятность обнаружить деталь с  > в вполне может быть выше, чем вероятность обнаружить деталь с  < а. Такой подход представляется более разумным, чем назначение на нижнее и верхнее предельные значения толщины покрытия (как для односторонних) разных значений уровня несоответствий и риска, как это предлагается в ГОСТ Р 50779.74 (система AQL).

Аналогичные рассуждения для плана контроля у потребителя с правилом принятия решения в виде условия: партия не соответствует требованиям по качеству в случае выполнения условия:

q_н > NQL, (6.8)

где q_н – нижняя граница доверительного интервала уровня несоответствий в партии, рассчитываемая по результатам выборочного контроля по формуле:

(6.9)

приводят к необходимости для обеспечения риска поставщика не менее заданного значения  определять _н и _в в (6.9) с доверительной вероятностью 1-/2 в случае двустороннего ограничения показателя качества и 1- в случае любого одностороннего ограничения:

	при двустороннем ограничении показателя качества;
	при любом одностороннем ограничении показателя качества;
	при двустороннем ограничении показателя качества;
	при любом одностороннем ограничении показателя качества.