5.3.2 Планы выборочного контроля при известной дисперсии и одностороннем ограничении признака качества

Рассмотрим принципы построения планов выборочного контроля качества для случая известной дисперсии ² и одностороннем ограничении признака качества, например, когда требование к соответствию изделия задано в виде ограничения на нижнее предельное значение: изделие годное, если показатель качества у  а. Качество партии характеризует уровень несоответствий q_п: партия соответствует требования и подлежит поставке потребителю, если доля несоответствующих изделий в ней не превышает заданное (согласованное между поставщиком и потребителем) значение q_o, т.е. если

q_п  q_o (5.4)

или, в соответствии с (5.2), когда

Ф( )  q_o. (5.5)

Переходя в (5.5) к квантилям и с учётом монотонности функции стандартного распределения, представим требование к групповому показателю через требование к математическому ожиданию :

 z_qo или   а + z_1-qo. (5.6)

Для оценки неизвестного значения математического ожидания показателя качества  в партии используем достаточную статистику (см. п. 3.4) в виде выборочного среднего:

= ,

где n – объём выборки.

Если для выполнения условия (5.4) относительно математического ожидания необходимо и достаточно выполнения соотношения (5.6), то для выборочного среднего необходимо выполнение более строгого неравенства:

   + , (5.7)

где  – доверительный интервал возможных значений , соответствующих полученному по выборке конкретному значению , связанный со статической неопределённостью оценки математического ожидания по выборочному среднему.

В еличину  можно определить из уравнения:

Р((    + ) ) = , (5.8)

где  – доверительная вероятность того, что значение  окажется больше («левее») значения  -  (см. рисунок 5.6). С учётом «нормальности» распределения признака качества у и соответственно «нормальности» распределения выборочного среднего с параметрами (; / ), уравнение (5.8) можно представить в виде:

Р(( ≥  + ) ) = 1 -  =  = .

Откуда, переходя к квантилям, можно записать:

 = z_1- или окончательно  =  .

Поэтому для выполнения (5.4) из (5.7) с учётом (5.6) для выборочного среднего должно выполняться соотношение:

 а + z_1-qo +   = а + ( z_1-qo +  ) = а + k, (5.9)

где k = ( z_1-qo +  )  – приёмочный коэффициент, определяющий через исходные параметры плана контроля q_o, n и  такое требование к значению выборочного среднего, чтобы выполнялось соотношение (5.4).

Из (5.9) автоматически получается уравнение для ОХ плана выборочного контроля L():

L() = P(  а + k) = 1 -   =  . (5.10)

Учитывая (5.2) в квантильной форме, можно получить уравнение для ОХ в виде зависимости вероятности приёмки партии от предполагаемого уровня несоответствий:

L(q) =  .

Если теперь записать значения ОХ для q = AQL и q = RQL, то получим систему:

(5.11)

Или, переходя к квантилям:

Откуда нетрудно получить:

(5.12)

(5.13)

Аналогично при ограничении в виде верхнего предельного значения в (изделие годное, если показатель качества у  в), ограничение на значение выборочного среднего представим в виде:

 в - k,

где, по-прежнему, k = ( z_1-qo +  )  – приёмочный коэффициент плана выборочного контроля.

Тогда, для ОХ можно записать:

L() = P(  в - k) =   =  .

Или с учётом (5.1) в квантильной форме:

L(q) = .

Таким образом, вне зависимости от вида ограничения (верхнего или нижнего) уравнение ОХ и, соответственно, соотношения для определения приёмочного коэффициента k и объёма выборки n получаются идентичными.

Примечание. Если вернуться к (5.9) и сравнить k =( z_1-qo +  )  c (5.13), то нетрудно получить:

( z_1-qo +  ) = или: = z_qo  .

Из последнего равенства, c учётом (5.12), следует:

z_1- =  . (5.14)

Например, в системе AQL принимают: q_o = AQL. Тогда по (5.14) получаем:

z_1- =  = z_, т.е.  = 1- .

В системе ПРП: q_o = RQL = NQL и тогда  = .