5.3 Статистический приёмочный контроль качества по количественному признаку

5.3.1 Исходные положения

Л юбой измеримый признак качества можно представить как непрерывную случайную величину. Совокупность изделий (партию) с контролируемым измеримым признаком качества – как совокупность одинаково распределённых непрерывных случайных величин.

Рисунок 5.4

Случайность – в том, что значение признака l_i (i = 0…N) у каждой детали (см. рис. 5.4) неизвестно, неопределено и может принимать практически любое из физически допустимых значений, причём этой случайной величине   l можно сопоставить функцию распределения:

Р( l   < x) = F(x) – вероятность того, что значение l меньше х.

Непрерывность – в том, что значение признака может соответствовать практически любой точке числовой оси из области физически допустимых значений (без пропусков интервалов и точек на числовой оси).

Одинаковость рапределения – в том, что все изделия идентичны относительно функции рапределения контролируемого параметра, и для любого значения на числовой оси х верно соотношение:

Р(l₁ < x) = Р(l₂ < x) = Р(l₃ < x) = …= Р(l_N < x) = F(x),

т.е. вероятность того, что любое случайно выбранное изделие из партии обладает параметром l, которое меньше любого конкретного значения x, определяется одной для всех изделий функцией распределения F(x).

Все стандарты по приёмочному контролю качества исходят из того, что функция распределения показателя качества F(x) соответствует «нормальному» (Гаусову) распределению с параметрами  и ², где  и ² соответственно математическое ожидание и дисперсия показателя качества генеральной совокупности (выхода производственного процесса в системе AQL или контролируемой партии в системе ПРП). Выбор именно нормального распределения объясняется не просто «в силу Центральной предельной теоремы …», а тем, что в соответствии с этой теоремой производственный процесс должен быть хотя бы частично управляем (см. пп. 2.1 и 2.3.5).

Учитывая частотную интерпретацию вероятности, представим функцию распределения F(x) следующим образом:

 F(x) = Р(l < x) =   = ­ = q (доля изделий в партии со значениями l_i < x).

Таким образом, функция распределения F(x) помимо прочего описывает долю изделий в партии со значениями признака качества l_i, которые меньше значения x. Например, если в НТД установлено, что соответствующими требованиям являются только те изделия, значения признака качества которых l меньше b, то доля годных (соответствующих) изделий в партии будет равна:

q_г = F(x = b) = Ф( ),

а доля негодных изделий соответственно:

q = 1 - F(x = b) = 1 - Ф( ). (5.1)

В случае задания требования в виде нижнего предельного значения а (изделие годное, если l_i  а):

q_г = 1 -F(x = а) = 1 - Ф( ),

q = F(x = а) = Ф( ). (5.2)

Для духстороннего ограничения: изделие годное, если а ≤ l_i ≤ в, уровень несоответствий в партии через функцию распределения можно выразить следующим образом (см. так же раздел 2.2):

q = 1 – [F(x = b) - F(x = a)] =

=  (5.3)

где Ф₁ =  – уровень несоответствий, равный площади левого «хвоста» распределения, т.е. доля изделий, значения признака качества которых меньше а (l_i < a);

– уровень несоответствий, равный площади правого «хвоста» распределения, т.е. доля изделий со значениями (l_i > в);

Ф(…) – функция стандартного нормального распределения;

 и  – соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение значений признака качества в партии.

Из всего вышесказанного вытекают три важных вывода:

1. если известны параметры функции распределения признака качества в партии  и , то можно подсчитать долю изделий в партии для любого диапазона значений l_i от х₁ до х₂, в том числе и для поля допуска от а до b;

2. нормализация, т.е. переход к стандартной функции распределения позволяет стандартизировать методы контроля практически для любых измеримых признаков качества, лишь бы они были распределены по закону нормального распределения с любыми  и ;

3. если групповой показатель качества определён в виде допустимой доли несоответствующих изделий в партии q, то выборочный контроль партии сводится к оценке неизвестных параметров распределения партии  и  по выборке.

В стандартах по приёмочному контролю с измеримыми признаками качества планы контроля подразделяют на следующие виды:

1. планы контроля с односторонним и двухсторонним ограничением признака качества;

2. планы контроля с известным или неизвестным значением дисперсии ²;

3. при неизвестном значении дисперсии планы могут быть с оценкой дисперсии непосредственно по выборочным значениям:

s² =  , где l_cp =  – выборочное среднее,

или по размаху в выборке: R = l_max - l_min, где l_max и l_min, соответственно, максимальное и минимальное значения признаков качества в выборке. (Значение дисперсии ² статистически связано с размахом R в случае нормального распределения, т.е. зная размах R в выборке можно оценить дисперсию. В настоящее время планы контроля с оценкой дисперсии по размаху потеряли актуальность, т.к. оценка дисперсии партии ² по выборочной дисперсии s² более точна и, следовательно, объёмы выборки планов контроля с оценкой ² по s² будут меньше, чем при оценке ² по R).