4.4 Другие характеристики планов выборочного контроля

4.4.1 Средний выходной уровень качества и предел среднего выходного уровня качества

Даже при плане с параметрами (N;n;c = 0), в котором в выборке не допускается ни одного дефектного изделия, нет сто процентной гарантии, что к потребителю не попадёт ни одного несоответствующего изделия. (Действительно, всегда следует помнить, что при контроле 999 изделий из партии в 1000 единиц продукции всегда, при любом исходе контроля, остаётся отличная от нуля вероятность, что последнее не проконтролированное изделие окажется несоответствующим). Следовательно, каким бы «жёстким» не был выборочный контроль качества поставляемой продукции, потребителю возможно попадание несоответствующих изделий. Оценить уровень «засоренности» поставляемой продукции несоответствующими изделиями позволяют две характеристики плана выборочного контроля – средний уровень несоответствий AOQ и предел среднего уровня несоответствий AOQL.

Средний уровень несоответствий (AOQ) есть отношение математического ожидания числа несоответствий М[Y1} к математическому ожиданию общего числа изделий в принятых и поставленных потребителю партиях M[Y2], рассматриваемое как функция от возможного уровня несоответствий изготовляемых партий q:

AOQ(q) =  . (4.9)

В формуле (4.9) должно быть учтено, что при поставке потребителю нескольких партий часть партий может не проходить контроль и, следовательно, с ними совершаются управляющие процедуры с целью доведения до приемлемого для поставки состояния (например, сплошной контроль с разбраковкой, т.е. обнаружение и изъятие несоответствующих единиц с заменой или без замены на годные). Кроме того, у поставленных партий (прошедших контроль) возможны разные действия с изделиями, попавшими в выборку. Выборка может после контроля и «очистки» от несоответствующих изделий возвращаться в партию и поставляться потребителю вместе с непроверенным остатком партии или изыматься из партии, например, в случае разрушающих методов испытаний при контроле (выборка боеприпасов после проверки на боевую эффективность полностью утрачивается). Все возможные варианты действия с выборкой и с непроверенным остатком партии в случае отрицательных результатов контроля представлены на рисунке 4.3.

По рис.4.3 можно построить матрицу последствий, которая описывает девять комбинаций действий с выборкой и с остатком партии при отрицательных результатах контроля. Например, сочетание S1 L1 означает, что выборка после контроля утрачивается (разрушающий контроль) и весь остаток партии утилизируется, т.е. ни одно изделие из этой партии до потребителя не доходит.

Таблица 4.3

	L1	L2	L3
S1	S1L1	S1L2	S1L3
S2	S2L1	S2L2	S2L3
S3	S3L1	S3L2	S3L3

Из девяти комбинаций по табл. 4.3 наиболее распространены только три сочетания, которые расположены на диагонали (S_i  L_j) при i = j. Комбинация S1L1 получается при разрушающих методах контроля, сочетание S2L2 – при входном контроле у потребителя, поскольку потребитель не может заменить несоответствующие изделия, обнаруженные в выборке в ходе проверок. Случай S3L3 наиболее распространён при контроле у поставщика.

Значение случайной величины Y1 может принимать только два возможных значения: 0 или (N - n)q. Действительно, если партия не проходит контроль, то в любом случае несоответствующие изделия из этой партии к потребителю не попадают, т.к. срабатывают действия: (L1UL2UL3). При положительных результатах контроля потребителю не попадают несоответствующие изделия из выборки: (S1U S2US3), но могут попасть несоответствия в непроверенном остатке партии (N – n). Таким образом, используя вероятностный смысл ОХ плана контроля можно составить таблицу распределения случайной величины Y1 и определить её математическое ожидание:

Результат контроля	Партия отклоняется	Партия принимается
Значение Y1	0	(N – n)q
Вероятность Р(Y1q)	1 – L(q)	L(q)

М[Y1] = (1 – L(q))0 + L(q)(N – n)q = L(q)(N – n)q (4.10)

Причём выражение (4.10) выполняется при любых сочетаниях (S_i  L_j) из таблицы последствий 4.2, т.е. формулу (4.9) при любых сочетаниях (S_i  L_j) можно записать в виде:

AOQ(q) =  . (4.11)

Значение М[Y2] в отличие от М[Y1] существенно зависит от сочетаний (S_i  L_j). Например, при выполнении условий (S3  L3) с каждой партией вне зависимости от результатов контроля к потребителю попадёт N изделий. Таблица распределения случайной величины Y2 для (S3  L3) будет следующей:

Результат контроля	Партия отклоняется	Партия принимается
Значение Y2	N	N
Вероятность Р(Y1q)	1 – L(q)	L(q)

М[Y2] = (1 – L(q))N + L(q)N  = N. (4.12)

Подставляя (4.12) в (4.11) получим:

AOQ(q(S3  L3)) =  .

Значения AOQ(q) для различных сочетаний (S_i  L_j) представлены в таблице 4.4. (Выведите формулы значений AOQ(q(S_i  L_j)) для всех сочетаний (S_i  L_j). Вывод формул войдёт как задача в экзаменационный билет).

Таблица 4.4

	L1	L2	L3
S1	q		qL(q)
S2
S3			qL(q)

Очень часто встречается определение среднего уровня несоответствий в виде соотношения AOQ*(q)  L(q)q, которое получается в случае n/N  0, т.е. при больших по объёму партиях и малых выборках (кроме случая разрушающего контроля, когда как легко установить AOQ(q(S1 L1)) = q (М[Y2] = 0 + (N – n)L(q)).

Поскольку, средний уровень несоответствий AOQ(q) выражается через ОХ и является функцией от уровня несоответствий поступающей на контроль партии, то представляет интерес найти максимально возможное значение этой функции. Максимум функции среднего уровня несоответствий называется пределом среднего выходного уровня качества (AOQL). Потребитель никогда не получит суммарно больше несоответствующих изделий, чем тот, который соответствует пределу среднего выходного уровня качества (D_ = Nq_max) для данного плана выборочного контроля. Максимальное значение функции среднего уровня несоответствий можно определить как экстремальное значение из соотношения:

= 0. (4.13)

Можно доказать (Докажите!), что для всех возможных комбинаций S_i  L_j, кроме S1  L1, функция (q) имеет максимум в области своих возможных значений (0 < q < 1). Для случая S1  L1 соотношение 4.13 не имеет решений, поскольку для этого случая (см. таблицу 4.4):

=1,

т.е. в этом случае функция AQL(q) строго возрастающая и достигает максимума при крайнем значении q = 1: AOQL = AQL(q = 1) = 1.

В /1/ приведена приближённая формула, выведенная из условия ОХ по распределению Пуассона, которая достаточно точно аппроксимирует значение AOQL и при других распределениях (биноминальном и гипергеометрическом):

AOQL = y( ) = AQL(q =  ), (4.14)

где х и y определяются по таблице 4.5 при приёмочном числе с одноступенчатого плана выборочного контроля.

Таблица 4.5

c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	1,00	1,62	2,27	2,95	3,64	4,35	5,07	5,80	6,55	7,30
y	0,368	0,840	1,371	1,942	2,544	3,168	3,812	4,472	5,146	5,831