Лекция 6

Тема: Анализ гармонического установившегося режима

Урок 10. Гармонический режим элементов

Гармонический режим резистора

Если напряжение резистора гармоническое, т.е.

имеющее амплитуду , угловую частоту и начальную фазу , то, согласно формуле Ома, сила тока элемента

Значит амплитуда силы тока

и начальная фаза . Значит, амплитуда напряжения и сила тока тоже связаны формулой Ома, а сами сила тока и напряжение – синфазные процессы.

Мгновенная мощность идеального резистора в гармоническом режиме:

Мгновенная мощность гармонического тока есть также периодический процесс.

Первые слагаемые этой записи называют активной мощностью или средней мощностью и обозначают буквой Р.

Итак, средняя мощность гармонического тока в резисторе:

Эти записи похожи на формулы Джоуля-Ленца.

Сравним мощности постоянного и переменного гармонического тока в одном и том же резисторе с сопротивлением r:

и где I – сила постоянного тока.

Из сравнения этих записей следует, что постоянный ток с той же мощностью, что и переменный гармонический ток, имеет уровень

Силу постоянного тока, эквивалентного по мощности переменному гармоническому току, называют действующим или эффективным значением гармонического тока.

Аналогично формулой

можно ввести действующее напряжение. При этом мощность гармонического тока определяется через действующее значение напряжения и силы тока, а также как мощность эквивалентного постоянного тока, т.е.

Гармонический режим индуктора

Пусть через индуктор с индуктивностью L протекает гармонический ток силой

с амплитудой , частотой и фазой . Определим напряжение элемента. Согласно компонентному уравнению

Сравнивая записи получаем:

и

Из приведенных соотношений, во-первых, следует, что напряжение идеального индуктора опережает силу тока по фазе на угол , т.е. на 90.

Коэффициент

называют сопротивлением индуктора. Соответственно, можно ввести параметр

и назвать его проводимостью индуктора.

С учетом сопротивления и проводимости имеем формулы

являющиеся формулами Ома для индуктора.

Гармонический режим конденсатора

Пусть напряжение конденсатора с ёмкостью С гармонического вида

с амплитудой , угловой частотой и начальной фазой .

Тогда сила тока

Из сравнения записей следует, что

и

Значит, сила тока конденсатора опережает по фазе напряжение на угол , т.е. на 90.

Введем обозначение

и назовем величину проводимостью конденсатора. Тогда обратная величина

есть сопротивление конденсатора.

Формулы Ома для конденсатора:

Сравнение энергоемких элементов в гармоническом режиме

Проведенный анализ показывает принципиальное отличие между режимами идеального резистора и остальных элементов. Только у резистора сила тока и напряжение синфазные. У индуктора и конденсатора сила тока и напряжение отличаются по фазе на угол 90.

Гармонические процессы, отличающиеся по фазе на 90, называют ортогональными.

Ортогональность силы тока и напряжения, свойственная режиму индуктора и конденсатора, позволяет объединить их в одну группу под названием "реактивные элементы".

В дальнейшем мы и будем так называть энергоёмкие элементы в гармоническом режиме. При этом все величины, описывающие гармонический режим этих элементов, также будем называть реактивными.

В отличие от реактивных элементов резистор называют диссипативным элементом, т.е. элементом потерь энергии в цепи.

Между реактивными элементами – конденсатором и индуктором – есть и существенное различие. Если для индуктора отстающим по фазе является сила тока, то у конденсатора отстает по фазе напряжение. Иными словами, у этих элементов отстающими по фазе являются переменные состояния, т.е. процессы, определяющие запас энергии этих элементов.

Мощность тока реактивных элементов

Если напряжение реактивного элемента гармонического вида

то сила тока

где верхний знак "–" соответствует режиму конденсатора, а знак "+" описывает особенности режима работы индуктора.

Находим мгновенную мощность

Как видно, мгновенная мощность является также гармонической функцией времени с удвоенной частотой . Следовательно, она может принимать и положительное и отрицательное значение.

Ранее отмечалось, что знак мгновенной мощности показывает, какую конкретную роль играет элемент, является он источником или нагрузкой. Значит, полученный результат говорит о том, что в гармоническом режиме всякий реактивный элемент попеременно дважды за период оказывается или нагрузкой, или источником.

При этом средняя мощность

Значит, как и ожидалось, ток реактивных элементов, в отличие от тока резистора, полезной работы не совершает. Эти элементы по среднему эффекту не нагрузки.

Найдем энергию элементов как функцию времени. Вообще говоря, энергия есть неопределенный интеграл от мгновенной мощности. Чтобы избежать определения константы при интегрировании, поступим по-другому. Воспользуемся ранее полученными формулами энергии для общего режима. Так, для конденсатора

Аналогично

Значит, для всякого реактивного элемента энергия – это периодическая функция времени. Минимум этой функции, как нетрудно проверить, равен нулю. Поэтому, можно утверждать, что в гармоническом режиме реактивные элементы дважды за период напряжения или силы тока накапливают ЭМП, а затем его полностью растрачивают с помощью других элементов – элементов потерь.

Среднее значение энергии реактивных элементов определяется первыми постоянными слагаемыми выражений для мгновенной энергии .

Приведем единое выражение для средней энергии.

Для конденсатора:

Для индуктора

Значит, средняя энергия реактивных элементов любого вида описывается одинаковыми формулами. В единой формуле присутствует выражение:

подобное тому, что мы получили для средней мощности в резисторах. Оно есть амплитуда мгновенной мощности элемента.

Величина Q количественно характеризует среднюю энергию реактивных элементов. Её называют реактивной мощностью.

Хотя реактивная мощность формально описывается такой же формулой, как активная, однако смысл реактивной и активной мощности разный.

Активная мощность характеризует потери энергии цепи через резистор.

Реактивная мощность характеризует среднее значение энергии, сохраняемое реактивными элементами цепи.

Различие между сравниваемыми мощностями проявляется при конкретизации этих общих формул. Так, если выразить реактивную мощность через сопротивление или проводимость элементов, то в соответствии с формулами Ома получим равенство:

где x и b – реактивные сопротивление и проводимость "вообще", для любого реактивного элемента.

Урок 12. Метод комплексных амплитуд. Основные понятия и определения

Введение

Тригонометрическая форма записи процессов неудобна для анализа гармонического режима сложных цепей. Дело в том, что всякие уравнения цепей включают в себя суммы значений одноименных процессов. Поэтому при решении уравнений возникает проблема чисто вычислительного характера – необходимость сложения мгновенных значений большого числа гармонических процессов с различными амплитудами и начальными фазами. При этом трудоёмкость вычислений растет гораздо быстрее, чем растет число гармонических слагаемых

Для снижения трудоёмкости расчетов гармонического режима в своё время были разработаны различные методики. Наилучшей из них оказался так называемый метод комплексных амплитуд, разработанный в 1893-94 г.г. американскими инженерами А.Е. Кеннели и Ч.П. Стейнмецом.

Идея метода состоит в следующем. Если трудно складывать гармонические процессы, то лучше заменить их на другие процессы, которые складывать проще и которые сохраняют параметры исходных гармонических колебаний. При этом было отмечено, что гораздо более простыми являются правила сложения комплексных чисел или векторов.

Авторами метода было предложено заменить вычисления с гармоническими процессами вида

на вычисления с комплекснозначными функциями времени

получаемыми из исходных гармонических путем прибавления мнимой части, которая тоже есть гармоническая функция с той же амплитудой и частотой, но отличающаяся от исходной по фазе на угол . Эту дополнительную функцию называют сопряженной с функцией a(t).

Саму комплекснозащитную функцию (или ) называют комплексом гармонического колебания a(t).

Комплекс гармонического колебания. Форма представления комплекса

Запишем мгновенные значения гармонического колебания a(t) в виде:

где

– фаза колебания.

Тогда комплекс колебания запишем как:

Такое представление называют записью комплекса в алгебраической форме.

В этих записях

– действительная часть комплекса;

– мнимая часть комплекса.

Другой вариант представления комплекса – запись комплекса в экспоненциальной форме. Для перехода к этой форме учтем одну из формул Л.Эйлера:

Согласно этой формуле можно записать, что

Комплексная амплитуда

Выделим в показательной форме представления комплекса часть, не зависящую от времени. Для этого разделим экспоненту на два сомножителя, а именно:

Выражение

называют комплексной амплитудой. Она есть произведение амплитуды гармонического сигнала A_m на экспоненциальный множитель, учитывающий начальную фазу колебания . В частном случае, когда начальная фаза равна нулю, т.е. при

 = 0

т.е. комплексная амплитуда совпадает с амплитудой.

Еще один сомножитель, зависящий от времени, а именно e^jt принято называть оператором вращения. Это вызвано тем, что функция e^jt есть уравнение движения точки, вращающейся на плоскости комплексных чисел по окружности единичного радиуса, имеющего центр в начале координат

Учитывая введенные обозначения, можно записать, что

и считать, что комплекс гармонического колебания есть произведение комплексной амплитуды на оператор вращения.

Коэффициент j , присутствующий в экспоненциальной записи комплекса, называют мнимой угловой частотой.

Последовательность расчетов методом комплексных амплитуд

1. От заданных гармонических процессов a(t) в источниках переходят к их комплексам путем добавления мнимой части, т.е. осуществляют переход

2. От комплексов колебаний источников переходят к их комплексным амплитудам , исключая в записи комплексов оператор вращения, т.е.

3. По комплексным амплитудам колебаний источников по правилам алгебры комплексных чисел находят комплексные амплитуды гармонических реакций цепи , т.е.

.

При этом совершают такие действия над комплексными амплитудами, которые имеют те же наименования (или подобные) действиям, которые необходимо выполнять над самими отображаемыми комплексами гармоническими колебаниями по законам теории цепей.

4. Результаты вычислений _, полученные в форме комплексных амплитуд, преобразуют в комплексы результатов путем домножения на оператор вращения:

5. От комплексов результатов переходят к мгновенным значениям результатов с помощью преобразования:

Иными словами, переход от комплекса к самому гармоническому колебанию делается формальной заменой

Основные усилия затрачиваются на выполнение пункта 3. Рассмотрим эти действия подробнее.

Действия над комплексами и комплексными амплитудами

С применением метода комплексных амплитуд операции над мгновенными значениями гармонических процессов заменяют на одноименные операции над их комплексами и комплексными амплитудами.

При этом учитывают, что при замене гармонических процессов их комплексами:

1. Первая производная комплекса есть произведение дифференцируемого комплекса на мнимую частоту.

Комплексная амплитуда первой производной гармонического процесса равна произведению комплексной амплитуды этого процесса на мнимую частоту j.

Доказательство:

что и требовалось доказать.

2. Интеграл комплекса есть отношение интегрируемого комплекса к мнимой частоте j.

Комплексная амплитуда интеграла от гармонической функции равна отношению комплексной амплитуды этого процесса к мнимой частоте.

что и требовалось доказать.

3. При алгебраическом сложении гармонических колебаний их комплексные амплитуды складывают.

что и требовалось доказать.

Как видно из приведенных правил, с применением метода комплексных амплитуд системы линейных дифференциальных уравнений для мгновенных значений искомых гармонических процессов, составляемых по законам теории цепей, преобразуются в системы линейных алгебраических уравнений для комплексных амплитуд этих процессов.

Алгебраизация вычислений оказывается важным достоинством рассматриваемого метода, позволяющим упрощать вычисления. При этом, действия над функциями времени заменяются на равносильные операции над комплексными числами, что гораздо проще.

Представление гармонических процессов вращающимися векторами. Векторные диаграммы

Как показано в теории функций комплексного переменного, график функции

– это график окружности с радиусом и с центром в начале координат.

Эта окружность строится вращающимся радиус - вектором, длина которого равна амплитуде отображаемого колебания , а угловая скорость вращения равна угловой частоте колебания .

Подставив в рассматриваемую функцию момент времени t = 0 можно убедиться в том, что в этот момент

Значит угол, который составляет вращающийся вектор с осью полярной системы координат, равен начальной фазе гармонического колебания .

Отсюда ясен геометрический смысл понятия "комплексная амплитуда".

Комплексная амплитуда есть точка на плоскости комплексных чисел, которую выделяет вращающийся вектор длиной , равный амплитуде гармонического колебания, в начальный момент времени t = 0.

В этот момент угол между вектором и положительным направлением действительной оси равен начальной фазе колебания .

Отметим этот факт графически:

С течением времени вектор вращения против часовой стрелки со скоростью , что отмечено стрелкой. При этом мгновенная проекция этого вектора на действующую ось есть мгновенное значение процесса, отображаемого вектором.

Отображение гармонического колебания вращающимся радиус - вектором называют векторной диаграммой.

Векторные диаграммы удобны тем, что они наглядны. При этом действия, которые необходимо выполнить над гармоническими процессами, заменяют на одноименные действия над векторами, которые значительно проще.