Лекция № 3

Урок 5. Структура электрической цепи. Принципиальная электрическая схема цепи. Законы структуры цепи

Элементы электрической цепи различным образом соединяют друг с другом, формируя определенную структуру электрической цепи. Состав и структура электрической цепи отражают на принципиальных электрических схемах.

Схема электрическая принципиальная – это схема цепи, составленная их условных графических обозначений (УГО) её элементов.

Приведем пример принципиальной схемы:

На схеме показана такие компоненты, как транзистор VT1, полупроводниковый диод VD1, резисторы R₁, R₂, R₃ и конденсаторы С₁ и С₂. Слева – пара входных зажимов (полюсов) 1 и 1^/. Справа – выходные зажимы 2 и 2^/. Вверху и внизу указаны точки подключения источника питания цепи. Это вывод (-Е_к) и вывод, обозначенный знаком заземления (). Так обозначают общий вывод для большинства элементов цепи.

Схема электрическая принципиальная – это конструкторский документ. Его нужно выполнять в строгом соответствии с требованиями Единой Системы Конструкторской Документации (ЕСКД). Её изображают разработчики аппаратуры, проведя необходимые расчеты и испытания цепи. При этом, они применяют при расчетах уже упоминавшиеся схемы замещения. Поэтому, схемы замещения называют еще расчетными схемами.

Повторим ряд понятий, которыми описывают структуру электрической цепи. При этом будем рассматривать различные варианты соединения элементов с двумя выводами, называемые двухполюсниками.

Соединение, при котором двухполюсники подключаются к соседним только одним выводом, называют последовательным. Последовательно соединенные двухполюсники образуют ветвь.

Пример ветви:

Особенности режима ветвей:

– через все элементы ветви протекает один и тот же ток;

– напряжение на ветви есть сумма напряжений на её элементах.

Заметим, что источники тока и разрывы цепи (изоляторы) ветвей не образуют. Идеальные источники напряжения также не являются ветвями!

Место соединения ветвей или отдельных двухполюсников называют узлом. Узлы выделяют на схемах жирными точками.

Совокупность двухполюсников или ветвей, подключенных к одной и той же паре узлов, образуют параллельное соединение. Получающийся при этом двухполюсник называют кистью.

Пример схемы кисти из трех ветвей:

Особенности режима кистей:

– напряжение на всех ветвях одинаково;

– сила тока соединения равна сумме сил токов его ветвей.

Источники тока, параллельные ветвям, в кисть не входят!

Соединение нескольких двухполюсников или ветвей с одним узлом называют звездой.

Пример четырехлучевой звезды:

Соединение, при котором каждый двухполюсник (или ветвь) присоединен к двум соседним, называют многоугольником.

Приведем пример четырехугольника:

Основные законы электрических цепей

Во всякой теории основными законами являются те, которые выражают в терминах данной науки законы сохранения вещества и энергии. В теории цепей – это законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа или закон токов Кирхгофа (ЗТК):

В любой момент времени алгебраическая сумма сил токов ветвей, сходящихся в узел, равна нулю, т.е.

Знаки сил токов проставляют в уравнения, составляемых по ЗКТ, в соответствии с направлениями их отсчета.

Если направление отсчета тока – от узла, сила этого тока записывается со знаком (+). В противном случае, когда направление отсчета тока – к узлу, соответствующему слагаемому в уравнении, присваиваем знак (-).

Уравнения, составляемые по ЗТК, называют узловыми.

Уравнение этого узла:

-i₁ + i₂ + i₃ –i₄ – j₁ +j₂ = 0

Это уравнение можно представить и в других равносильных формах записи. Например, можно разделить силы задающих токов и токов нагрузок, т.е.

-i₁ + i₂ + i₃ –i₄ = j₁ - j₂

или сделать все слагаемые в записи положительными, произведя перенос слагаемых через знак равенства:

i₂ + i₃ + j₂ = i₁ + i₄ + j₁.

Последний вариант уравнения соответствует другой известной формулировке закона:

Сумма сил токов, втекающих в узел, равна сумме сил токов, вытекающих из узла.

Последние две записи наиболее наглядно отражают тот факт, что ЗТК есть формулировка закона сохранения числа движущихся заряженных частиц – закона сохранения вещества.

Второй закон Кирхгофа или закон напряжений Кирхгофа (ЗНК):

В любой момент времени алгебраическая сумма напряжений всех элементов при обходе любого контура цепи равна нулю, т.е.:

Здесь контуром назван любой замкнутый путь по элементам, составляющим многоугольник электрической цепи.

Уравнения, составляемые по ЗНК, называют контурными.

Для назначения знаков слагаемых напряжений в контурных уравнениях направления отсчета этих напряжений сравнивают с указанным направлением обхода контура.

Если направление отсчета некоторого элемента совпадает с направлением обхода, то оно записывается в контурном уравнении со знаком «плюс».

Выбор направления обхода отмечают изогнутой стрелкой внутри выделенного контура.

Обратимся к примеру составления контурного уравнения.

Имеем четырехугольник из пассивных элементов и двух источников напряжения:

Согласно изложенному правилу знаков:

u₁ - e₁ + u₂ + e₂ + u₃ – u₄ = 0.

Задающие напряжения источников можно сгруппировать в правой части уравнения, т.е.

u₁ + u₂ + u₃ – u₄ = e₁- e_2.

Этой форме записи уравнения соответствует формулировка закона:

Алгебраическая сумма задающих напряжений равна алгебраической сумме падений напряжений на пассивных элементах.

Последняя формулировка наиболее наглядно отражает смысл закона напряжений Кирхгофа как частной формулировки закона сохранения энергии.

Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, объединяют под названием структурных или топологических уравнений цепи.

Уравнения элементов – компонентные.

Режим сложных цепей описывают системами уравнений Кирхгофа.

Для обсуждения приемов рационального составления систем уравнений обратимся к конкретному примеру.

Нелинейная резистивная цепь

Представим схему замещения цепи из одних только резисторов, в том числе идеальных источников. Такие цепи называют резистивными. Если в цепи есть нелинейные элементы, её называют нелинейной.

Необходимо решить задачу полного анализа режима цепи, т.е. нужно найти силы токов всех ветвей и напряжения всех элементов. Договоримся определять в первую очередь силы токов пассивных элементов {i₁, i₂, i₃, i₅}.

Для получения однозначных решений – значений сил токов – необходимо составить систему из минимального числа линейно независимых уравнений цепи.

Доказано, что линейно независимыми являются уравнения всех узлов цепи, за исключением одного. Этот «лишний» узел, который называют базисным (или базисом) можно выбрать произвольно. Этот выбор отмечают на схеме цепи знаком заземления «».

Соответственно, гарантируется линейная независимость контурных уравнений, если контуры цепи представляют собой систему ячеек, т.е. контуров, находящихся рядом и не охватывающих друг друга.

Так как электрический режим идеальных источников относительно независим от режима остальной цепи, его описывают отдельно после нахождения значений процессов в пассивных элементах. Чтобы не составлять «лишние» уравнения для описания режима источников, их считают подавленными. Иными словами, заменяют идеальный источник напряжения идеальным проводником, совмещая тем самым его узлы в один. Источник тока при расчете считают идеальным изолятором.

При подавлении источников считают, что источники тока не образуют контуров, а источники напряжения не входят в звезды элементов вокруг узлов цепи.

Переходим к расчету.

Для составления системы узловых уравнений выберем базисный узел. Удобно считать, что это узел с номером 0. Отметим это знаком «». Так как между базисным узлом 0 и узлом 1 имеется идеальный источник напряжения, считаемый подавленным, полагаем, что узел 0 и 1 соединены идеальным проводником, т.е. составляют один узел 0,1. Тогда систему независимых узлов составят узлы 2 и 3.

: - i₁ + i₂ + i₃ = 0

: - i₃ – i₅ = j

Для составления контурных уравнений выбираем систему независимых контуров как соседних ячеек. Это два контура. Один из них получается при обходе многоугольника из элементов e, R₁ и резистора с ВАХ . Второй контур получается при обходе многоугольника {R₁, u₅(i₅), R₃}. Многоугольник с источником тока j контура не образует, т.к. подавленный источник тока есть разрыв цепи. Выбранные ячейки нумеруем и выбираем для них направление обхода, которые указываем дополнительными стрелками.

Для выбранных ячеек и направлений их обхода получаем уравнения:

1. 

2. 

При записи этих уравнений мы отождествили направления отсчета напряжений и токов элементов, а также воспользовались уравнениями элементов, чтобы получилась единая система уравнений относительно сил искомых токов.

Итак, получилась единая система из четырех уравнений для нахождения четырех сил токов.

Для исследования режима идеальных источников составим дополнительные уравнения.

По ЗТК -i_e + i₁ + i₅ = 0  i_e = i₁ + i₅

По ЗНК u_j +R₃i₃ – u₂ = 0  u_j = u₂ - R₃i₃ =

На этом исследование полного режима цепи закончено.

Как видно из результатов приведенного примера, уравнения резистивной цепи – алгебраические, линейные или нелинейные.

Линейная динамическая цепь

Составим уравнение цепи с энергоемкими элементами и источниками различных типов.

Схема имеет четыре ветви, два главных контура и два независимых узла. базисный узел выделен знаком «». Главные контуры выделены показом направления их обхода.

Для выбранных направлений токов:

Дополнительно находим u_i = i₄R₄.

В отличие от предыдущего примера, ряд уравнений данной цепи содержит неизвестные под знаком производных или (и) интегралов. Это интегро-дифференциальные уравнения.

Режим динамических цепей описывается системами из алгебраических и интегро-дифференциальных уравнений.

Урок 6. Линейные цепи. Свойства линейных цепей

Электрическую цепь называют линейной , если параметры всех её элементов не зависят от напряжения или силы тока.

Линейная цепь состоит из линейных пассивных элементов и независимых источников. Силы токов и напряжения линейной цепи есть решения линейных алгебраических или интегро-дифференциальных уравнений.

Линейные цепи обладают следующими общими свойствами: