Лекция 15. Преобразование Лапласа и анализ линейных цепей во временной области

Урок 1. Связь между частотными и временными характеристиками линейной цепи

Как известно, импульсная характеристика цепи есть реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции . Найдем импульсную характеристику, применяя преобразование Лапласа.

Представим некоторую линейную цепь как четырехполюсник с известной операторной функцией передачи , на входе которого действует источник сигнала в виде –функции. Примем для определенности, что входной сигнал описывается напряжением, т.е. , выходной сигнал – тоже напряжение .

При этом – функция передачи напряжения.

По определению, функция передачи

где и – изображения выходного и входного напряжений.

Тогда

Для нахождения мгновенных значений выходного напряжения применим обратное преобразование Лапласа.

Так как в нашей задаче , то изображение .

Значит, искомая реакция

или короче

В свою очередь

Значит, операторная функция передачи и импульсная характеристика цепи связаны преобразованиями Лапласа. Операторная функция передачи есть изображение импульсной характеристики. Соответственно, импульсная характеристика является оригиналом операторной функции передачи.

Простое соотношение существует также между переходной характеристикой и операторной функцией передачи.. Так как

то, по теореме интегрирования

Полученные соотношения помогают вычислению частотных и временных характеристик цепи. В частности, для вычисления импульсной характеристики цепи по заданной функции передачи можно применить правило вычетов, т.е.

Интеграл наложения

Так как , то из равенства согласно теореме о свертке оригиналов вытекает соотношение во временной области

Значит, выходной сигнал есть свертка между входным сигналом и импульсной характеристикой цепи.

Метод расчета сигналов на выходе линейной цепи с учетом её импульсной характеристики называют методом интеграла наложения.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере.

Н айдем мгновенные значения напряжения на резисторе R последовательной резистивно-индукторной цепи при действии источника экспоненциального напряжения , начиная с момента .

При расчете учтем, что импульсная характеристика напряжения резистора

тогда

П редставим графически, что собой представляет произведение как функция от времени .

Как видно, это произведение есть прямоугольный импульс от времени , существующий на промежутке времени и имеющий единичный уровень. Поэтому достаточно уточнить пределы интегрирования:

В частности, если скорость изменения экспоненты , т.е. совпадает с собственной частотой цепи, то получается неопределенность типа . Раскрыв её, получаем результат

и меющий график:

Полученные график и формулы результата показывают, что, вообще говоря, реакция линейной цепи отличается по форме от воздействия. В таких случаях говорят о линейных искажениях выходного сигнала по сравнению с входным.

Применяя метод интеграла наложения, часто бывает необходимо производить интегрирование функций действительной переменной сложного вида. Такой расчет оказывается гораздо труднее, чем расчет операторным методом с интегрированием функций комплексной переменной. Это существенно ограничивает область применения метода интеграла наложения.

Применение преобразование Лапласа для решения систем уравнений состояния

Как известно, система уравнений состояния линейной цепи в матричной форме имеет следующий вид:

где – вектор переменных состояния;

– основная матрица;

– матрица управления;

– вектор сигналов (воздействий).

Как показано в матричной алгебре, это уравнение имеет решение

Первое слагаемое решения, как всегда, есть процесс при нулевом входе (сигнале), когда . Второе слагаемое является матричной записью интеграла наложения и выражает процесс при нулевом начальном состоянии, когда вектор начальных условий .

Матричные операции, которые необходимо производить для получения вектора решения , известны, за исключением вычисления экспоненты от основной матрицы , называемой фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояний.

Существует много методов вычисления фундаментальной матрицы. Алгоритм точного аналитического решения этой задачи применяет обратное преобразование Лапласа.

В теории матриц доказано, что

В этой записи

– единичная матрица, т.е. диагональная матрица из единиц, размеры которой равны размерам основной матрицы ;

– характеристическая матрица. Она есть матричная запись характеристического полинома;

– матрица, обратная характеристической или резольвента (решающая матрица) матрицы ;

– символ обратного преобразования Лапласа.

Необходимо напомнить, что при обращении характеристической матрицы необходимо вычислить присоединенную (союзную) матрицу и разделить её на определитель исходной матрицы. Присоединенная (союзная) матрица составляется из транспортированных алгебраических дополнений (миноров со знаком) от исходной матрицы.

Урок 2. Пример расчета методом переменных состояний

В ернемся к примеру линейной цепи второго порядка, для которой были составлены уравнения состояния.

Система уравнений состояния этой цепи:

Примем следующие числовые значения параметров цепи:

Тогда основная матрица

Найдем фундаментальную матрицу с помощью обратного преобразования Лапласа.

Составим характеристическую матрицу

Обращаем характеристическую матрицу. Её определитель, т.е. характеристический многочлен

Числитель обратной матрицы, т.е. присоединенная (союзная) матрица

Значит, обратная матрица

Найдем обратное преобразование Лапласа от элементов обратной матрицы, применяя метод вычетов.

Полюсы всего множества элементов обратной матрицы – это решения уравнения

Они равны

то есть .

Как известно, полюсы есть также собственные частоты цепи. Они действительные и отрицательные. Значит, процессы в цепи – апериодические.

Для применения вычетов нужно продифференцировать знаменатель обратной матрицы, т.е. характеристический многочлен.

Эта производная равна

Найдем обратное преобразование Лапласа от верхнего левого элемента обратной матрицы.

Значит, элементы фундаментальной матрицы представляют собой взвешенные суммы экспонент, в показателях которых записаны координаты полюсов, т.е. собственные частоты цепи. Число слагаемых равно порядку цепи.

Продолжая аналогичные вычисления, получаем:

Для упрощения дальнейших вычислений примем нулевые начальные условия задачи, когда

При этом составляющей искомых процессов при нулевом входе не будет, и останется вычислять интеграл наложения.

Конкретизируем также значения задающих процессов в источниках.

Примем . Тогда

Так как произведение последних матриц – это вектор из единиц, то

(При вычислениях учтены типовые интегралы ).

Построим временные диаграммы найденных переменных состояния.

Найдем также значения выходных переменных по выходным уравнениям. Учитывая численные значения параметров элементов имеем:

где

Поэтому

Построим временные диаграммы результатов

Все эти графики показывают, что под действием источников происходит заряд конденсатора до напряжения .

При этом напряжение конденсатора растет, а сила тока монотонно снижается. Максимум индуктивного тока соответствует нуль индуктивного напряжения. Они – в момент .

Лекция 16. Дискретные цепи и сигналы. Общая теория

Урок 1. Дискретные сигналы и элементы дискретных цепей

Дискретные сигналы

До сих пор мы ограничивались рассмотрением так называемых аналоговых сигналов и нахождением реакции цепи на эти сигналы.

Аналоговыми или континуальными сигналами называются процессы, описываемые непрерывными почти всюду функциями времени. Они могут принимать любые значения во всяком заданном континуальном промежутке времени из области определения.

В последнее время в радиотехнике и телекоммуникациях стали широко применяться дискретные сигналы. Эти процессы определены на конечном или счетном множестве дискретных моментов времени.

Дискретные сигналы можно получить из аналоговых сигналов путем дискретизации последних. Кроме того, есть сигналы дискретные по своей природе, такие, как результаты измерений, снимаемые при последовательном опросе с различных датчиков (измерения температуры три раза в день и т.п.).

Значит, дискретные сигналы бывают естественными и дискретизированными.

Дискретизированный сигнал есть последовательность отсчетов аналогового сигнала , взятых в заданные дискретные моменты времени , где – последовательность целых чисел, а промежуток времени T есть интервал дискретизации или такт.

К примеру, если аналоговый сигнал описывается функцией и имеет временную диаграмму,

то получаемый из него дискретный сигнал есть последовательность коротких импульсов – отсчетов сигнала , уровни которых в момент отсчета повторяют мгновенные значения сигнала, т.е.

Временная диаграмма такого дискретизированного сигнала

Примеры дискретных сигналов

1. Единичный отсчет (игольчатая функция) есть сигнал единичного уровня, существующий в единственный момент времени .

Временная диаграмма такого сигнала:

Значит,

Здесь n – число тактов сдвига функции, а не текущий номер отсчета, который мы обозначаем как . Единичный отсчет – это дискретный аналог - функции.

2. Единичная ступенчатая последовательность или дискретная функция Хевисайда есть последовательность единичных отсчетов с тактом Т, начинающаяся в момент .

Это аналог единичной ступенчатой аналоговой функции .

Как видно из графика,

3. Вообще всякий дискретизированный сигнал , получаемый из аналогового сигнала , есть последовательность отсчетов с уровнями , т.е.

Z – преобразования дискретных сигналов

Как известно, мощным и универсальным средством исследования режима линейных цепей при воздействии аналоговых сигналов произвольного вида является применение преобразования Лапласа. Этот подход нельзя применить для анализа режима цепей с дискретными сигналами, так как для всех дискретных сигналов, принимающих конечные значения в момент отсчетов, их преобразование Лапласа равно нулю.

Для упрощения расчетов цепей при действии дискретных сигналов применяют Z- преобразование. Оно имеет такую же важную роль при анализе действия дискретных сигналов, как преобразование Лапласа для аналоговых сигналов.

Определение. Пусть дискретный сигнал есть последовательность отсчетов , т.е.

тогда прямое Z- преобразование сигнала или Z- изображение этого сигнала есть степенной ряд по отрицательным степеням комплексной переменной , коэффициентами которого являются отсчеты сигнала , т.е.

Для восстановления отсчетов дискретного сигнала по его Z-изображению применяют обратное Z- преобразование, выражаемое интегралом

В этой формуле путь интегрирования на плоскости комплексной переменной проходит по окружности с радиусом, равным единице.

Рассмотрим примеры применения Z-преобразования.