
Лекция 14 Операторный метод. Основы теории и расчета
Урок 1. Анализ сигналов. Преобразование Лапласа
Операторный метод расчета является естественным обобщением известного метода комплексных амплитуд для расчета режима линейных цепей при широком диапазоне воздействий самого различного вида.
Как известно, метод комплексных амплитуд был разработан как метод анализа установившегося гармонического режима. В дальнейшем он был распространение на нахождение реакций линейных цепей на воздействия типа собственных колебаний этих цепей вида
При решении этих задач применялось обобщение понятия «комплекс», а именно комплексное экспоненциальное колебание
у которого
При этом сами комплексные колебания являются полусуммами.
Сигналы в устройствах радиосвязи существенно сложнее рассматривавшихся ранее гармонических колебаний с постоянными или экспоненциально изменяющимися амплитудами. Так, они имеют конечную продолжительность, момент возникновения и окончания. Амплитуда, фаза и частота этих процессов может изменяться по сложным законам. Поэтому необходимо научиться определять реакции цепи на такие сигналы. При этом желательно применять известные и усовершенствованные для решения новых задач методики расчетов.
Один из путей решения поставленной задачи – это анализ сигналов, т.е. разложение сложных воздействий на более простые и хорошо изученные, такие, для которых просто определять реакции цепи. Пользуясь линейностью цепи, можно сложить реакции на простые воздействия и получить тем самым реакцию на более сложные и разнообразные сигналы.
Один из применяемых способов анализа сигналов радиосвязи заключается в реализации предложения британского ученого О. Хевисайда, который предположил, что многие сигналы состоят из гармонических колебаний с постоянными или экспоненциально меняющимися амплитудами.
В пользу этой гипотезы свидетельствует следующая теорема из теории функций комплексного переменного:
Если
f(t) – функция
действительной переменной t,
заданная в области
и равна нулю при
,
возрастает не быстрее показательной
функции, т.е.
где М и С0 – действительные постоянные величины, то справедливо интегральное выражение
причем комплексная функция
При соблюдении указанного неравенства, постоянную С0 называют показателем роста функции f(t). Соответственно, функцию f(t), удовлетворяющую заданному неравенству, зовут функцией ограниченного экспоненциального роста с показателем С0.
Функция
времени f(t)
в записанной формуле выражена через
новую функцию комплексной переменной
,
называемую изображением
функции f(t).
Соответственно, сама функция f(t)
есть оригинал от изображения
.
Интегрирование
производится на плоскости комплексных
чисел
вдоль бесконечной вертикальной прямой,
отстоящей от мнимой оси на расстояние
С > C0, где
C0 – показатель
роста функции f(t).
Нетрудно убедиться в том, что записанный интеграл есть разложение сигнала f(t) на бесконечную сумму комплексных экспоненциальных колебаний. Действительно,
есть комплексная амплитуда элементарного комплексного экспоненциального колебания с комплексной частотой .
Как
следует из полученной интегральной
формулы, сигнал f(t),
удовлетворяющий условиям теоремы, есть
сумма бесконечного (несчетного) множества
комплексных экспоненциальных колебаний
с различными бесконечно близкими
комплексными частотами и бесконечно
малыми по модулям комплексными
амплитудами
.
Несмотря на то, что комплексные амплитуды элементарных сигналов, составляющих сигнал f(t), бесконечно малы, введенное изображение этого сигнала
принимает для
рассматриваемых сигналов f(t),
как правило, конечные значения как
отношение бесконечно малых величин
одного и того же порядка, а именно,
первого. Поэтому, будем в дальнейшем
для описания состава сигнала f(t)
применять именно функцию
.
Выясним
электротехнический смысл вводимого
понятия «изображение сигнала». Для
этого учтем, что на указанном пути
интегрирования
,
где
.
Поэтому дифференциал
.
Кроме того, заметим, что
,
где
– циклическая частота в Герцах.
Тогда
.
При этом
Т.е. изображение сигнала f(t) есть скорость изменения комплексных амплитуд элементарных сигналов при изменении циклической частоты.
Такую скорость по аналогии с механикой ещё называют плотностью комплексных амплитуд.
Соответственно, модуль изображения
есть плотность амплитуд элементарных сигналов, а аргумент
есть скорость изменения фазы элементарных сигналов при изменении их циклической частоты.
Размерность
модуля изображения и самого изображения
или
.
Размерность аргумента изображения
.
Изображение сигнала может быть найдено по мгновенным значениям его f(t) с помощью интеграла
являющегося решением уравнения
Записанные выражения именуют, соответственно, прямым и обратным преобразованием Лапласа.
Будем далее применять сокращенные обозначения этих преобразований, прямого:
и обратного
,
где
– оператор
Лапласа.
С помощью прямого преобразования проводится анализ сигнала f(t), т.е. определение комплексных амплитуд колебаний, из которых он состоит. Применяя обратное преобразование Лапласа, мы осуществляем синтез сигнала из его элементарных составляющих.
Считая, что достаточно произвольный сигнал f(t) есть сумма элементарных комплексных экспоненциальных колебаний, а, значит, отображаемых ими гармонических колебаний с постоянной или экспоненциально меняющейся амплитудой, мы можем находить реакции цепи на эти элементарные сигналы и на весь заданный сигнал в целом, применяя общеизвестный и достаточно простой метод комплексных амплитуд.
Изображения стандартных (испытательных) сигналов
Найдем для примера изображения двух наиболее употребительных испытательных (стандартных) сигналов – единичной импульсной функции (t) и единичной ступенчатой функции 1(t).
Пусть
, где
– дельта-функция Дирака. Тогда изображение
Для расчета мы воспользовались стробирующим свойством -функции. Получилось, что -функция есть сигнал с простейшим изображением , равным единице. Значит - импульс, действующий только в момент t = 0 и в этот момент имеющий неограниченное значение, состоит из бесконечного числа синфазных гармонических колебаний различных частот и одинаковыми амплитудами. Сложившись синфазно в момент t = 0, они дают бесконечно высокий выброс. В остальные моменты времени они имеют разные знаки и компенсируют действия друг друга.
Так
как получившееся изображение
, то сам сигнал
Это – интегральное представление - функции. Оно понадобится для радиотехнических расчетов.
Пусть
единичный скачок или функция Хэвисайда.
Так
как
,
а преобразование Лапласа – линейное,
то по теореме интегрирования, доказываемой
в теории функции комплексного переменного
Соответственно, модуль изображения и аргумент
При с = 0
Значит, единичный скачок в момент t = 0 получается, если сложить бесконечное число гармонических колебаний различных частот, комплексные амплитуды которых изменяются обратно пропорционально их частоте.
Урок 2. Расчет режима линейных цепей операторным методом. Операторные схемы замещения
Одна из особенностей операторного метода состоит в том, что он применяется для нахождения как установившихся, так и переходных реакций цепей на сигналы, имеющие начало – момент возникновения. При этом, принципиально необходимо для правильного решения задачи установить или задать начальное состояние цепи в момент возникновения сигнала, т.е. множество начальных условий.
Удобным способом описания и введения в условия задачи начальных условий является построение на базе схем замещения цепи так называемых операторных схем замещения. Эти схемы графически отображают соотношения между изображениями напряжений и сил токов в цепи с учетом начальных условий.
Рассмотрим примеры составления операторных схем замещения простейших моделей цепи – идеальных элементов.